 |
Расчет переходных процессов при коммутации ключа К2
|
|
|
|
ВВЕДЕНИЕ
В данной работе представлен расчет переходных процессов в электрической цепи второго порядка. Для нахождения напряжений и токов на реактивных элементах были использованы классический и операторный методы расчета цепей.
КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД
Разобьем задачу на две части: расчет переходных процессов в цепи после замыкания ключа К1, затем применив полученные условия, рассчитаем переходные процессы при замыкании ключа К2.
РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ КОММУТАЦИИ КЛЮЧА К1
Начертим исходную цепь без учета влияния ключа К2 (рисунок 2).
Рисунок 2 – Схема цепи до замыкания ключа К2.
Составим цепь после коммутации К1 (рисунок 3).
Рисунок 3 – Схема цепи после коммутации ключа К1.
Преобразим схему для подсчёта входного сопротивления (рисунок 4) и составим характеристическое уравнение для данной цепи.
Рисунок 4 – Схема для подсчета входного сопротивления.
Z = 
Делаем формальную замену jω на р и Z(p)=0
Решаем уравнение в программе MathCAD:
Рисунок 5 – Решение уравнения в программе MathCAD
Получаем два комплексно сопряженных корня:
Следовательно, α= 
, ω= 
Так как корни характеристического уравнения комплексно – сопряжённые, то свободная составляющая напряжения на конденсаторе имеет вид:
По II закону коммутации: в электрической цепи напряжение на емкости не может измениться скачком, поэтому можем записать начальные условия для нашей цепи:
uc(0-) = uc(0) = uc(0+);
Получим 
10+A 
exp(-16760t) 
– первое уравнение системы.
Запишем еще одно уравнение, чтобы найти две неизвестных А и 
После замыкания ключа 
Получим систему двух уравнений при t=0:
|
|
|
10+A 
Решим систему уравнений в программе MathCAD:
Рисунок 6 – Решение системы уравнений в программе MathCAD
А=-10,14 и 
Подставляем найденные значения в формулы, записанные выше:
(A)
(B)
Запишем формулы для нахождения тока и напряжения на катушке индуктивности, пользуясь законами Ома и Кирхгофа:
(B)
(B)
(A)
= 
(A)
РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ КОММУТАЦИИ КЛЮЧА К2
Рисунок 7 – Схема цепи до замыкания ключа К2
Рисунок 8 – Схема цепи после коммутации ключа К2
Cоставим характеристическое уравнение для данной цепи. Делаем формальную замену jω на р и Z(p)=0
Рисунок 9 – Решение уравнения в программе MathCAD
Получаем два комплексно сопряженных корня:
Начальные условия для напряжения на конденсаторе и тока на катушке при коммутации ключа К2:
Учитывая принужденные значения
=10 (B)
)
, запишем:
10+A exp(-167100t) 
Запишем систему уравнений при t=0 и решим ее:
Рисунок 10– Решение системы уравнений в программе MathCAD
А=0 
Подставляя, найденные значения в формулы, получаем:
B)
=0 (A)
Воспользуемся законами Ома и Кирхгофа:
0 (B)
0 (B)
(А)
2.ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
2.1 РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ КОММУТАЦИИ КЛЮЧА К1
Составим операторную схему замещения после замыкания ключа К1,не учитывая К2:
Рисунок 11– Операторная схема замещения при коммутации ключа К1
Мы не изображаем на схеме дополнительные источники энергии, соответствующие изображениям емкости и индуктивности, так как в начальный момент времени токов и напряжений в цепи не было, а, следовательно, их номинальные значения нулевые, в схеме остаются только их внутреннее сопротивление и источник ЭДС.
Запишем изображение тока 
в цепи:
Пользуясь законом Ома, запишем также изображение напряжения на конденсаторе
Находим нули знаменателя (полюса изображения) в программе MathCAD:
Рисунок 12–Нахождение полюса изображения в программе MathCAD
|
|
|
Подставляя все известные значения, получаем
Рисунок 13– Вычисления в программе MathCAD
(B)
(B)
(B)
(A)
= 
(A)
2.2 РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ КОММУТАЦИИ КЛЮЧА К2
Составим операторную схему замещения после замыкания ключа К2
Рисунок 14– Операторная схема замещения при коммутации ключа К2
Запишем изображение тока в цепи:
Пользуясь законом Ома, запишем также изображение напряжения на конденсаторе
Находим оригинал для изображения напряжения на конденсаторе, пользуясь формулой разложения:
В нашем случае F(p)=Uc(p), pk-полюс функции
Для Uc(p) = 
p=0 – простой полюс
Найдем вычет функции в точке p=0
Соответственно получили, что 
)
Следовательно, значение напряжения после коммутации ключа К2 не зависит от времени.
Пользуясь вновь законами Ома и Кирхгофа, запишем все остальные напряжения и токи, протекающие в данной цепи
=0 (А)
0 (B)
0 (B)
(А)
Построим графики зависимостей тока и напряжения на реактивных элементах от времени.
Рисунок 15 – График зависимости напряжения на катушке индуктивности от времени
Рисунок 16 – График зависимости тока на катушке индуктивности от времени
Рисунок 17 – График зависимости напряжения на конденсаторе от времени
Рисунок 18 – График зависимости тока на конденсаторе от времени
К моменту коммутации ключа К2(t=t1=1мс) в цепи завершен переходный процесс, вызванный коммутацией ключа К1(t=0). В индуктивности нет запасенной энергии магнитного поля. Напряжение на конденсаторе достигает значения источника ЭДС. Цепь находиться в устойчивом состоянии. Коммутация при t=t1 не выведет цепь из этого состояния.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе проделанной работы были определены напряжения и токи на реактивных элементах в электрической цепи второго порядка при коммутации ключей К1 и К2. При расчете разными способами (классическим и операторным) получили одинаковый результат.
По найденным значениям были построены графики зависимостей напряжения и тока на катушке индуктивности от времени и напряжения и тока на конденсаторе от времени.
|
|
|
В итоге можно сделать вывод о том, что коммутация ключа К2 не выводит данную цепь из устойчивого состояния.
|
|
|
