 |
Метод доказательства через контрпример
|
|
|
|
Характеристика метода. Данный метод применяется в ситуации, когда надо показать ложность утверждения вида
A Þ B. (*)
В этом случае создается (строится) объект (фигура, формула), который обладает свойствами, входящими в условие A, но не обладает свойствами, присутствующими в заключении B. Существование такого объекта показывает ложность утверждения (*).
|
|
Конечно, редко встречаются задачи, где явно требуется доказать ложность некоторого утверждения, но иногда, например после выдвижения гипотезы, легче попытаться опровергнуть ее через контрпример, а потом, в случае неудачи, начать доказывать, чем сразу приступать к доказательству.
Задача. Справедливо ли утверждение: если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то это ромб?
 |
Решение. Построим контрпример. На рис. 4 изображен четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны, но который не является ромбом. Существование такого объекта доказывает ложность исходного утверждения.
6. Метод вспомогательных фигур
Bспомогательный треугольник
Характеристика метода. При помощи некоторого дополнительного построения (продление отрезка, геометрическое преобразование и др.) получают треугольник, который дает возможность получить решение задачи. Обычно такой треугольник обладает двумя важными для решения задачи свойствами:
1) его элементы некоторым образом связаны с элементами, фигурирующими в условии задачи;
2) для его элементов легче найти характеристики, позволяющие получить решение, чем для фигур непосредственно заданных условием.
|
|
Задача. Доказать, что средние линии треугольника параллельны его сторонам и вдвое меньше их.
|
|
|
Решение. Пусть точки K, L, M – середины сторон AB, BC, CA треугольника ABC соответственно (рис. 5). Продолжим отрезок KL за точку L на отрезок NL = KL и получим вспомогательный треугольник NLC. Тогда D KBL = D NLC (по двум сторонам и углу между ними). Поэтому BK = CN и Ð B = Ð4. Следовательно, AK = CN (так как AK = KB и KB = CN) и AK || CN (так как Ð B = Ð4). Поскольку AK = CN и AK || CN, то KN = AC и KN || AC. Поэтому Ð3 = Ð A, Ð1 = Ð C и KL = 0,5 AC. Значит, углы треугольника KBL равны углам треугольника ABC, а стороны его вдвое меньше сторон треугольника ABC. Это же верно и для треугольников AKM, MCL, KML, так как они равны треугольнику KBL.
 |
P.S. Кроме описанного метода, при решении данной задачи используется известное дополнительное построение – продление отрезка на отрезок, равный самому себе.
7. Метод введения вспомогательного элемента
Вспомогательный отрезок
Характеристика метода. Длину некоторого отрезка рассматриваемой в задаче фигуры полагают равной, например, x и затем находят искомую величину. При этом в одних случаях вспомогательная величина в процессе решения задачи «исчезает» (сокращается), а в других ее нужно определить через данные условия и поставить в полученное для искомой величины выражение.
|
|
Задача. Найдите площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны и равны d 1 и d 2.
Решение. Заметим, что диагонали разбивают четырехугольник на треугольники. Удобно представить его площадь в виде суммы площадей треугольников ABC и ACD (рис. 6). При этом площадь каждого из указанных треугольников будем вычислять по известной формуле
S=1/2Ah
причем в качестве основания каждого треугольника выберем диагональ d 1. В этом случае высоты треугольников будут давать в сумме диагональ d 2, а в отдельности будут неизвестны.
Для использования в решении формулы (*) введем вспомогательный отрезок – высоту OD треугольника ACD, длину которого обозначим за x. Тогда длина высоты OB треугольника ABC будет равна (d 2 – x). Вычислим теперь площадь четырехугольника ABCD:
|
|
|
S=1/2d 1 x + 1/2d 1 (d 2 -x)=1/2d 1 d 2
 |
В результате получили правило: площадь выпуклого четырехугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями равна их полупроизведению.
Метод площадей
Характеристика метода. Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Для ряда фигур, например для треугольника, площадь довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов фигуры (треугольника). Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы определяем неизвестное. Здесь и проявляется основная особенность метода площадей – из геометрической задачи он «делает» алгебраическую, сводя все к решению уравнения (а иногда системы уравнений).
|
|
Само сравнение выражений для площади фигуры может быть различным. Иногда площадь фигуры представляется в виде суммы площадей ее частей. В других случаях приравниваются выражения, основанные на различных формулах площади для одной и той же фигуры, что позволяет получить зависимость между ее элементами.
Суть метода площадей не ограничивается только описанным выше приемом. Иногда бывает полезно рассмотреть отношение площадей фигур, одна из которых (или обе) содержит в себе искомые элементы.
Задача. Найти формулу для площади произвольного треугольника.
Решение. Пуст S – площадь треугольника ABC (рис. 7). Проведем высоту BD и получим прямоугольные треугольники ABD и CBD. Очевидно, что S = SABD + SBCD. Воспользуемся теперь известным правилом нахождения площади прямоугольного треугольника и получим:
Заметим, что данное решение было проведено для остроугольного треугольника. В случае же тупоугольного треугольника результат не изменится, отличие будет лишь в исходном соотношении для площади S = SABD – SBCD.
 |
Таким образом, сформулируем правило: площадь произвольного треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведенную к этой стороне.
|
|
|
9. Аналитико – синтетический метод.
Анализ – логический приём, метод исследования, состоящий в том, что изучаемый объект мысленно (или практически) разбивается на составные элементы (признаки, свойства, отношения), каждый из которых исследуется в отдельности как часть расчлененного целого.
Синтез – логический прием, с помощью которого отдельные элементы соединяются в единое целое (другими словами обратный анализу).
Не следует отделять эти методы друг от друга, так как они составляют единый аналитико-синтетический метод. Так при решении сложной задачи она с помощью анализа разбивается на ряд более простых задач, а затем при помощи синтеза происходит соединение решений этих задач в единое целое.
Пример: (использование анализа при решении иррациональных уравнений)
- 
= 
1) рассмотрим левую часть: < т.к. x-3<x+9
2) следовательно - <0
3) но >0
4) приходим к противоречию, а значит - 
5) уравнение решения не имеет.
|
|
|
