Глава 3. Структура и источники геоданных

Системы координат

Основная цель введения некоторой системы координат в геоинформатике – это описание положения объектов на поверхности Земли в некотором «естественном» виде.

Если мы хотим определить положение судна в океане, и нам нужно проложить маршрут движения по карте, то вначале мы «естественно» должны определить широту и долготу положения судна в градусах с помощью специальных приборов. При этом мы используем географические координаты. Применение таких координат удобно с точки зрения их понимания и вычисления различными астрономическими методами, однако крайне неудобно для выполнения любых геометрических измерений и построений. Например, очень сложно определить кратчайшее расстояние между двумя пунктами на поверхности Земли, положения которых заданы в градусах.

Это связано с тем, что поверхность Земли не является плоскостью, а поэтому формулы вычисления расстояний и других геометрических измерений на реальной поверхности Земли крайне сложны.

В связи с тем, что физическая поверхность Земли имеет очень сложную форму, она в зависимости от решаемых задач аппроксимируется некоторой фигурой, достаточно просто описываемой математически, например, сферой или эллипсоидом. Это позволяет разработать формулы для определения того же самого расстояния на поверхности сферы.

Однако если мы строим новый квартал в городе, то «естественно» предположить, что поверхность Земли в пределах застраиваемой территории является плоской, а потому все сложности сферической геометрии можно отбросить и использовать привычные для всех со школы формулы геометрии на плоскости. Именно поэтому проект внутриквартальной застройки «естественно» выполнить на топографическом плане, используя прямоугольные декартовые координаты в пространстве.

При этом важнейшим вопросом является выбор этой декартовой системы координат. «Естественно» предполагать, что ось Z этой системы координат должна быть направлена вверх, а другие оси – параллельно поверхности Земли в начале координат. Это нужно для того, чтобы можно было в полевых условиях измерять высоты на местности с помощью нивелира, а также определять вертикали с помощью обычного отвеса.

В тоже время, если мы строим большой протяженный объект, например, дорогу, протянувшуюся на сотни или тысячи километров, то поверхность Земли на таких расстояниях будет существенно отличаться от плоскости. Отклонение поверхности Земли от касательной плоскости, в которой определена декартова система координат, составляет на расстоянии 1 км от точки касания 7,8 см, а на 10 км – уже 7,84 м! Поэтому проект строительства дороги будет разбит на участки, выполняемые в различных декартовых системах координат. Основной проблемой такого способа является стыковка участков проекта, выполненных в разных локальных системах координат. Таким образом, возникает необходимость выработки об­щего подхода, позволяющего легко и непротиворечиво получать локальные системы координат, взаимно увязывать их друг с другом, а также при необходимости переходить к географическим координатам.

Для этого необходимо построить некоторую модель поверхности всей Земли, а также определить формулы перехода от этой модели к локальным координатам и обратно. «Естественно» предполагать, что все локальные (местные) декартовые системы координат должны иметь 1) начала координат, лежащие на модели поверхности Земли, 2) ось Z, направленную по нормали к модели поверхности. При таких предположениях, по крайней мере, измерение вертикали в локальной системе координат можно будет производить на местности с помощью обычного отвеса. Отсюда возникают следующие понятия.

Определение. Уровенной называется поверхность, ортогональная в каждой своей точке к векторами силы тяжести.

Определение. Геоидом называется уровенная поверхность, проходящая через некоторую точку начала отсчета высот.

Однако геоид имеет крайне сложную форму и её практически невозможно математически точно описать. Поэтому, в зависимости от решаемых задач, форма геоида может аппроксимироваться сферой, эллипсоидом вращения, трехосным эллипсоидом или, наиболее точно, квазигеоидами.

Сложность формы геоида (как и любой другой уровенной поверхности) возникает из-за того, что Земля состоит из неравномерно распределенных масс различной плотности. Это приводит к тому, что сила тяжести на поверхности Земли в разных местах является различной. Кроме того, вектора силы тяжести направлены в самые разные направления, не сходящиеся в центре масс Земли.

Определение. Общеземным называется эллипсоид вращения, плоскость экватора и центр которого совпадают с плоскостью экватора и центром масс Земли, и наилучшим образом аппроксимирующий поверхность геоида.

Определение. Референц-эллипсоидом называется такой эллипсоид, который наилучшим образом аппроксимирует поверхность геоида на соответствующей территории Земли.

Определение. Квазигеоидом называется такая фигура, которая на различных участках поверхности Земли аппроксимируется различными местными референц-эллипсоидами. На территории морей и океанов поверхность квазигеоида совпадает с поверхностью геоида, а на суше она отклоняется от него в пределах двух метров.

Большинство референц-эллипсоидов являются эллипсоидами вращения, которые характеризуются длинами своих полуосей (a – расстояние от его центра до точек экватора и b – расстояние от центра до полюсов) и вытекающим из этих длин коэффициентом сжатия (рис. 3.1). Вместо коэффициента сжатия эллипсоиды иногда характеризуют эксцентриситетом .

Рис. 3.1. Эллипсоид вращения

 

Кроме своих размеров референц-эллипсоиды характеризуются положением центра в теле Земли и ориентацией вертикальной оси. Когда для работы на территории берется некоторый местный референц-эллипсоид, то он выбирается так, чтобы максимально точно соответствовать поверхности геоида на этой территории (рис. 3.2). Именно поэтому данный референц-эллипсоид может очень сильно отличаться от поверхности геоида на других территориях.

 

Рис. 3.2. Аппроксимация поверхности Земли референц-эллипсоидами

 

Среди множества имеющихся в мире референц-эллипсоидов в России наиболее часто используется эллипсоид Красовского ( ), начальный пункт в Пулково, превышение геоида над референц-эллипсоидом в начальном пункте равно нулю, а измерение высот делается в Балтийской системе высот, ведущей отсчет от нуля Кронштатского футштока. Эта система координат называется СК-42, т.к. она была разработана в 1942 г., а с 1946 г. была введена в эксплуатацию на территории СССР. Тем не менее, на Дальнем Востоке иногда используется другая система высот от уровня Охотского моря.

В России с 1 июля 2002 г. обязательным к применению является система координат СК-95 (на основе эллипсоида Красовского, но несколько смещенного и повернутого относительно СК-42) для всех геодезических и картографических работ, а для геодезического обеспечения орбитальных полетов – ПЗ-90 (Параметры Земли 1990 г.), имеющая параметры .

Тем не менее, в последнее время в России все чаще стал также применяться референц-эллипсоид WGS-84 ( ). Это связано с тем, что в системе этого референц-эллипсоида выдают координаты приемники американской системы глобального позиционирования GPS, которая всё шире применяется в практике геодезических работ.

В математической картографии используются пространственные прямоугольные, криволинейные, плоские прямоугольные и полярные системы координат.

Самой простой является пространственная прямоугольная геоцентрическая система координат, начало которой совмещено с центром Земли, ось Z направлена на Северный полюс Земли, ось X – на точку пересечения Гринвичского меридиана с экватором, а ось Y – на восток от Гринвича (рис. 3.3). В качестве точки Северного полюса обычно используют условный земной полюс (международное условное начало), которая вместе с центром масс Земли определяет некоторое фиксированное среднее положение оси вращения Земли. Это связано с тем, что ось вращения Земли со временем перемещается в теле Земли и относительно звезд.

В то же время на практике обычно используются различные квазигеоцентрические системы координат, центр которых и угол наклона осей несколько иной. Именно поэтому имеются специальные формулы для пересчета координат из одной системы координат в другую:

где – координаты начала координат второй системы в первой, M – масштабный коэффициент, – разворот осей на малые углы.

Ориентация используемого референц-эллипсоида характеризуется смещением от центра масс Земли и отклонением его оси относительно оси вращения Земли.

Рис. 3.3. Геоцентрическая система координат

 

Однако более привычной является географическая (геодезическая) система координат, когда координаты точки на поверхности эллипсоида определяются широтой и долготой , измеряемыми в градусах от экватора и от Гринвичского меридиана соответственно (рис. 3.4). Координаты любой точки в пространстве складываются из широты и долготы её проекции по нормали на эллипсоид и высоты H точки относительно эллипсоида.

В связи с тем, что широта и долгота точки на местности зачастую определяется с помощью астрономических наблюдений, географические координаты также иногда называются астрономическими.

 

Рис. 3.4. Географическая (геодезическая) система координат

 

Использование вышеприведенных геоцентрической и географической систем координат не всегда удобно. Так, при работе на небольших участках земной поверхности обычно используется топоцентрическая (горизонтная) система координат, которая является обычной прямоугольной пространственной системой координат и характеризуется некоторой начальной точкой , задаваемой в географической системе координат ( – это высота точки над уровнем референц-эллипсоида). Ось Z топоцентрической системы координат совпадает с нормалью к поверхности эллипсоида, проходящей через , ось X лежит в плоскости меридиана и направлена на северный полюс, а ось Y направлена на восток (рис. 3.5).

 

Рис. 3.5. Топоцентрическая (горизонтная) система координат

 

Кроме вышеупомянутых также широко используется полярная сфероидическая (сферическая) система координат. В этой системе отсчет ведется от точки нового полюса , задаваемого в географической системе координат (рис. 3.6). Положение любой точки C на поверхности эллипсоида задается двумя углами a и z. Угол a (азимут) измеряется между нормальными плоскостями в точке полюса, одна из которых проходит через старые полюса эллипсоида, а другая – через точку C. Угол z определяется как , где точка является точкой пересечения вертикальной оси референц-эллипсоида с нормалью к эллипсоиду, проведенной через точку нового полюса. Слово полярная в названии данной системы координат призвано подчеркнуть, что координаты a и z можно представлять себе как полярные угол и радиус соответственно, только на поверхности эллипсоида, а не на плоскости.

Черная в изображении

Рис. 3.6. Полярная сфероидическая (сферическая) система координат

 

Отметим, что в математической картографии иногда также используется «почти обычная» полярная система координат – так называемая полярная геодезическая система координат. В этой системе отсчет, также как и в предыдущем случае, ведется от точки нового полюса , задаваемого в географической системе координат (рис. 3.76). Положение любой точки C на поверхности эллипсоида задается длиной геодезической линии s от до C и азимутом a – углом между нормальными плоскостями в точке полюса, одна из которых проходит через старые полюса эллипсоида, а другая – через точку C (геодезической линией между двумя заданными точками на некоторой поверхности называется кратчайшая линия, связывающая эти две точки по этой поверхности).

 

Черная в изображении

Рис. 3.7. Полярная геодезическая система координат

 

Все вышеприведенные системы координат предназначены для задания «абсолютных координат», т.е. координат, не зависящих от положения никаких объектов в пространстве.

В противовес абсолютным часто используются различные относительные координаты, в которых отсчет ведется от некоторых заметных объектов на местности.

Относительные координаты бывают двух основных видов:

1. Относительная полюсная система координат. В этих координатах отсчет ведется от полюсов – некоторых известных точек на местности, заданных либо в абсолютной системе координат, либо в описательном виде. Положение любой иной точки на местности может задаваться как азимут и расстояние от некоторого полюса, либо как расстояния от двух полюсов.

С помощью таких координат очень часто задается положение объектов подземных инженерных коммуникаций (колодцев, труб, кабелей) на картах местности, например, в терминах «4 метра на север от угла дома» или «в 5 метрах от угла дома и на расстоянии 6 метров от стены трансформаторной подстанции» (рис. 3.8).

Эта система координат позволяет задать положение объектов на плане, а также в пространстве, добавляя в описание координат смещение по высоте искомой точки от плановой («2 метра под землей») или от базовой точки («3 метра ниже отметки на стене дома»).

Рис. 3.8. Задание положения инженерных коммуникацией
с помощью относительной полюсной системы координат

 

2. Относительная линеаризованная (пикетажная) система координат. В этой системе за основу берется некоторая базовая кривая, положение которой задано в абсолютной системе координат. Кроме того, на этой кривой выбирается некоторая базовая точка B (обычно это начало кривой). Положение любой иной точки C на базовой кривой считается как кратчайшее расстояние от этой точки до базовой точки вдоль базовой кривой. Такое расстояние часто называют пикетажным расстоянием или пикетажем. Для определения положения любой точки P на плоскости, не лежащей на базовой прямой, нужно найти ближайшую точку С на базовой прямой. Положением точки P будет считаться пара величин «пикетаж + смещение», где «пикетаж» – это пикетаж точки С относительно B, а «смещение» – это расстояние от P до C. Причем, если точка P располагается справа от кривой BC, то смещение берется со знаком плюс, иначе – со знаком минус (рис. 3.9).

 

Начало отсчета пикетажа по трассе дороги

Столб линии электропередачи
(пикетаж 146 м, смещение 36 м направо)

Пикетаж 146 м по трассе дороги

Рис. 3.9. Задание положения объектов инженерного обустройства
автомобильной дороги с помощью линеаризованной системы координат

 

Картографические проекции

В связи с тем, что форма Земли не является плоской, при построении бумажных или электронных карт используются так называемые картографические проекции – математические способы отображения поверхности Земли на плоскость.

К настоящему времени создано огромное количество различных проекций, выбор которых для применения зависит от размеров картографируемой территории, назначения карты и стандартов, принятых в той или иной стране.

Одной из важнейших характеристик проекций является характер и величина искажений. При этом выделяют следующие виды проекций:

1. Равноугольные проекции. В этих проекциях сохраняются без искажений углы и формы малых объектов, но сильно искажаются длины и площади объектов. В математике такие преобразования называются конформными. Такие проекции используются, например, для навигации и прокладки транспортных маршрутов.

2. Равновеликие проекции. Эти проекции сохраняют площади всех объектов, но искажают углы и формы объектов. В таких проекциях очень удобно, например, определять площади земельных участков.

3. Равнопромежуточные проекции. В этих проекциях сохраняются длины вдоль одного из главных направлений (обычно вдоль параллелей либо вдоль одного или всех меридианов).

4. Произвольные проекции. В таких проекциях не сохраняются длины, площади или углы, однако преобразование проекции подбирается так, чтобы искажения углов, площадей и длин были в целом по карте минимальны. Обычно в центре карты делают минимальные искажения, которые плавно возрастают к краям.

Картографические проекции обычно задаются в виде:

_{Формула черная}

где x – вертикальная (не горизонтальная!) координата после проецирования; y – горизонтальная координата; – широта проецируемой точки; – долгота.

 

В зависимости от общего вида функций и получаются различные семейства проекций. Рассмотрим основные классы проекций.

1. Цилиндрические проекции. В этих проекциях меридианы – это равноотстоящие параллельные линии, а параллели – параллельные прямые, ортогональные меридианам. Общие уравнения цилиндрических проекций выглядят так:

где c – постоянный параметр.

Различные варианты цилиндрической проекции приведены на рис. 3.10–3.12.

 

Рис. 3.10. Равноугольная цилиндрическая проекция

 

Рис. 3.11. Равновеликая цилиндрическая проекция

Рис. 3.12. Равнопромежуточная по меридианам цилиндрическая проекция

 

 

2. Псевдоцилиндрические проекции. В этих проекциях параллели – это параллельные прямые, а меридианы – кривые или прямые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана.

Общие уравнения псевдоцилиндрических проекций выглядят так:

_{Черная формула}

Варианты равновеликих псевдоцилиндрических проекций приведены на рис. 3.13–3.15 с меридианами в форме синусоид, а на рис. 3.16 – с меридианами в форме эллипсов. На рис. 3.17–3.19 приведены примеры произвольных псевдоцилиндрических проекций.

 

Рис. 3.13. Равновеликая синусоидальная псевдоцилиндрическая проекция
с полюсами в виде точек

Рис. 3.14. Равновеликая синусоидальная псевдоцилиндрическая проекция
с полярной линией

Рис. 3.15. Равновеликая синусоидальная псевдоцилиндрическая
проекция Каврайского

Рис. 3.16. Равновеликая эллиптическая псевдоцилиндрическая
проекция

Рис. 3.17. Произвольная синусоидальная псевдоцилиндрическая
проекция

Рис. 3.18. Произвольная эллиптическая псевдоцилиндрическая
проекция Каврайского

Рис. 3.19. Произвольная эллиптическая псевдоцилиндрическая
проекция Михайлова

Рис. 3.20. Произвольная псевдоцилиндрическая
проекция ЦНИИГАиК (Гинзбурга)

3. Поперечно-цилиндрические. Для получения этих проекций вначале географические координаты переводятся в сферические полярные координаты, которые в свою очередь преобразуются с помощью некоторой обычной цилиндрической проекции. К этим проекциям относятся наиболее распространенные в мире проекции: проекции Гаусса-Крюгера и UTM.

Общие уравнения поперечно-цилиндрических проекций выглядят следующим образом:

Черная формула

где X, Y – сферические полярные координаты поперечной системы, а r – константа.

Примеры некоторых поперечно-цилиндрических проекций приведены на рис. 3.21–3.22.

Рис. 3.21. Поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгер. Практически
также выглядят проекции Кассини-Зольднера, Гаусса-Ламберта, а также

 

 

Меркатора, которая известна также как UTM или проекция Гаусса-Боага

Рис. 3.22. Поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера для широкой полосы

4. Конические проекции. В этих проекциях параллели – это концентрические окружности, а меридианы – пучок прямых, проведенных из центра окружностей.

Общие уравнения конических проекций выглядят так:

где – полярный радиус южной параллели, а .

Варианты равноугольных конических проекций приведены на рис. 3.23–3.24.

Рис. 3.23. Равноугольная коническая проекция с одинаковыми
искажениями на крайних параллелях 10° и 80°

Рис. 3.24. Равноугольная коническая проекция

 

5. Псевдоконические проекции. В этих проекциях параллели – это дуги концентрических окружностей, а меридианы – кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана, на котором расположен центр параллелей.

Общие уравнения псевдоконических проекций выглядят так:

где q – полярное расстояние южной параллели на плоскости.

Примеры псевдоконических проекций приведены на рис. 3.25–3.26.

Рис. 3.25. Равновеликая псевдоконическая проекция Бонна
(стандартная параллель = 50°)

Рис. 3.26. Псевдоконическая проекция Штаба-Вернера (серцевидная).
Искажения отсутствуют на среднем меридиане (55°) и северном полюсе

 

6. Поликонические проекции. В этих проекциях параллели – это дуги эксцентрических окружностей с центрами, расположенными на среднем прямолинейном меридиане, а меридианы – кривые, симметричные относительно среднего меридиана и экватора.

Общие уравнения поликонических проекций выглядят так:

Варианты поликонических проекций приведены на рис. 3.27–3.31.

Рис. 3.27. Поликоническая проекция Лагранжа

Рис. 3.28. Простая поликоническая проекция

Рис. 3.29. Видоизмененная простая поликоническая проекция

Рис. 3.30. Равновеликая поликоническая проекция

Рис. 3.31. Ортогональная поликоническая проекция

 

7. Азимутальные проекции. В этих проекциях параллели (альмукантараты) – это концентрические окружности, а меридианы (вертикалы) – прямые линии, пересекающиеся в центре окружностей под углами, равными разностям долгот соответствующих меридианов.

Общие уравнения азимутальных проекций выглядят так:

черная

где z, a – сферические полярные координаты точек .

Варианты азимутальной проекций приведены на рис. 3.32–3.35.

 

 

Рис. 3.32. Равноугольная азимутальная проекция

Рис. 3.33. Равноугольная азимутальная проекция
для изображения полярных областей

 

Рис. 3.34. Равноугольная азимутальная проекция для изображения территорий
с округлыми очертаниями (кроме полярных областей)

Рис. 3.35. Равновеликая азимутальная проекция шара Ламберта. Аналогично выглядит проекция Постеля (в ней также отсутствуют искажения вдоль стандартной параллели)

8. Псевдоазимутальные проекции. Такие проекции применяются в случаях, когда нужно передать на карте эффект сферичности Земли. В этих проекциях параллели – это концентрические окружности, а меридианы – кривые или прямые, сходящиеся в центре параллелей. При этом меридианы 0° и 360° совпадают.

Общие уравнения псевдоазимутальных проекций выглядят так:

где z, a – сферические полярные координаты точек ; k и a – константы.

Примеры псевдоазимутальных проекций приведены на рис. 3.36–37.

Рис. 3.36. Псевдоазимутальная проекция Вихеля

(а) (б)

Рис. 3.37. Псевдоазимутальная проекция Гинзбурга
(а – простая, б – с эффектом выпуклости)

9. Перспективные проекции. К этим проекция м относят проекции, в которых поверхность Земли отображается прямолинейными визирными лучами из точек пространства, называемыми точками зрения, на развертывающиеся поверхности цилиндра (при этом получается перспективно-ци­линд­ри­чес­кая проекция), конуса (перспективно-коническая) или плоскость (перспек­тивно-азимутальная). Наибольшее распространение на практике получили перспективно-азимутальные, а также перспективно-ци­линд­ри­ческие проекции. На рис. 3.38–3.39 даны примеры перспективно-ци­линд­ри­чес­ких проекций, а на рис. 3.40–3.42 – перспективно-азимутальных.

Рис. 3.38. Перспективно-цилиндрическая проекция Уэтча

Рис. 3.39. Комбинированная перспективно-цилиндрическая проекция
с негативным и позитивным изображениями

Рис. 3.40. Гномическая проекция
(перспективно-азимутальная с негативным изображением)

Рис. 3.41. Стереографическая проекция
(перспективно-азимутальная с негативным изображением)

Рис. 3.42. Ортографическая проекция
(перспективно-азимутальная с негативным изображением)

10. Проекции для карт глобусов. Глобусы обычно изготавливаются путем оклеивания шаровых заготовок или путем выдавливания пленки в полусферы.

В первом способе (методе оклейки) вначале производится изготовление меридианных полос с картографическим изображением размером в 30° по долготе и в 140° по широте, не включая полярные шапки за 70-ми параллелями.

Для построения изображения на этих полосах обычно используется видоизмененная простая поликоническая проекция, сохраняющая длины на среднем меридиане, на всех параллелях и имеющая незначительные искажения на крайних меридианах. Формулы этих проекций для этих полос представляют в виде:

где R – радиус референц-сферы, – длина дуги меридиана от экватора до данной параллели , а k – константа, обычно принимаемая равной 2, но может иметь и другие значения.

Для построения изображений полярных шапок обычно применяется прямая равнопромежуточная вдоль меридианов азимутальная проекция рис. 3.43).

Рис. 3.43. Развертка глобуса

Во втором способе (методе выдавливания) изображение наносится на специальную тонкую пленку, отличающуюся равномерностью вытяжки в продольном и поперечном направлении при выдавливании плоскости в полусферу. Выдавливание предварительно нагретой пленки производится с помощью специального пресса. Картографическое изображение, наносимое на пленку, строится в видоизменённой равнопромежуточной вдоль меридианов азимутальной проекции с учетом необходимых величин её растяжения при выдавливании. Формулы этих проекций имеют вид:

где R – радиус референц-сферы, а – константа, определяемая с учетом растяжения пленки.

10. Переменно-масштабные проекции. Такие проекции могут быть использованы для картографирования неравномерно распределенных в пространстве объектов и явлений, когда существует необходимость сжатия или растяжения отдельных участков земной поверхности (рис. 3.44).

 

Рис. 3.44. Переменно-масштабная проекция

 

11. Проекции анаморфированных изображений. В анаморфированных изображениях величина масштаба в различных точках карты плавно меняется пропорционально значениям некоторого параметра (плотности некоторого явления), распределенного по всей карте. Целью анаморфического преобразования является выравнивание плотности по всей карте.

Например, если в качестве выравнивающего параметра выбрать плотность населения, то наиболее плотно населенные районы увеличатся в размерах, а менее населенные – уменьшатся. Такие изображения называются эквидемическими. На рис. 3.45 приведен пример анаморфированного изображения стран мира по населению.

Рис. 3.45. Эквидемическая карта мира
(анаморфизм по населению отдельных регионов стран)

 

Среди всего множества проекций в России наиболее часто используется «двойная» равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера, сохраняющая длины на среднем меридиане. Эта проекция наиболее хорошо подходит для картографирования территории Российской Федерации, имеющий большой территориальный охват.

Для топографических карт многих стран мира в настоящее время применяется проекция UTM – универсальная поперечно-цилиндрическая проекция Меркатора, называемая также проекцией Гаусса-Боага. Эта проекция отличается от проекции Гаусса-Крюгера только тем, что на среднем меридиане частный масштаб длин равен не единице, а 0,9996.

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: