Спецкурс: Качественные методы нелинейного анализа динамических и управляемых систем. Специальные задачи.

 

И.Н. Барабанов

 

1. Постановка задачи Брокетта. Линейные неавтономные периодические системы с кусочно непрерывной правой частью. Фазовый поток.

2. Линейное пространство решений системы линейных уравнений, изоморфизм с пространством Rⁿ. Фундаментальная система решений и фундаментальная матрица. Отображение и матрица монодромии.

3. Устойчивость неподвижной точки линейного отображения. Теорема об эквивалентности асимптотической устойчивости неподвижной точки отображения монодромии и нулевого положения равновесия линейной системы.

4. Матричные нормы. Критерий асимптотической устойчивости неподвижной точки линейного отображения. Примеры линейных отображений на плоскости: эллиптическое и гиперболическое отображения.

5. Низкочастотная стабилизация верхнего положения равновесия математического маятника.

6. Общий случай низкочастотной стабилизации линейных систем. Достаточные условия.

7. Достаточные условия неустойчивости. Низкочастотная стабилизация двумерных систем с одним входом и одним выходом.

8. Принципы построения и задачи спутниковой навигации.

9. Решение stand-alone задачи спутниковой навигации по однократным измерениям. Фазовые измерения и дифференциальная навигация.

10. Нестационарные периодические системы. Уравнения в вариациях и их свойства. Мультипликаторы и характеристические числа линейных периодических систем. Теорема Флоке.

11. Приведение линейной периодической системы к системе с постоянными коэффициентами. Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению для периодических систем. Теорема Четаева о неустойчивости для нестационарных систем.

12. Периодические движения нелинейных автономных систем. Теорема Андронова – Витта.

13. Нелинейные периодические системы с малыми периодическими возмущениями. Существование периодических решений в окрестности изолированного периодического решения порождающей системы. Теорема Пуанкаре.

14. Условия существования периодических решений в окрестности неизолированных решений порождающей системы.

15. Построение периодического решения в аналитическом случае и исследование его устойчивости.

 

Литература.

1. Афанасьев В. Н., Колмановский Б. В., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М., Высшая школа, 2003 (3-е издание).
2. Справочник по теории автоматического регулирования. Под ред. Красовского А. А. М., Наука 1987.
3. Khalil, H.K. Nonlinear Systems. Third Edition. Prentice Hall, 2002.
4. Леонов Г.А., Шумафов М.М. Проблемы стабилизации линейных управляемых систем. СПб: СПбГУ, 2002.
5. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. 2-е изд. М.: УРСС, 2004.

 

Вопросы к экзамену

 

1. Асимптотическая устойчивость неподвижной точки линейного отображения.

2. Решение stand-alone задачи спутниковой навигации по однократным измерениям.

3. Приведение линейной периодической системы к системе с постоянными коэффициентами.

4. Нелинейные периодические системы с малыми периодическими возмущениями. Существование периодических решений в окрестности изолированного периодического решения порождающей системы. Теорема Пуанкаре.

5. Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению для периодических систем.

6. Теорема Флоке о фундаментальной матрице линейной периодической системы.

7. Свойства уравнения в вариациях.

8. Низкочастотная стабилизация верхнего положения равновесия математического маятника.

9. Теорема об эквивалентности асимптотической устойчивости неподвижной точки отображения монодромии и нулевого положения равновесия линейной системы.

10. Изоморфизм пространства решений линейной системы и фазового пространства.

11. Достаточное условие неустойчивости линейных систем.

 

Примеры задач:

 

1. Матрица монодромии некоторой линейной системы с периодическими коэффициентами равна

Исследовать устойчивость нулевого положения равновесия этой системы.

 

 

2. Задана система

Является ли положение равновесия асимптотически устойчивым?

 

 

3. Задана двумерная автономная система, – ее периодическое решение. Для составлены уравнения в вариациях. Матрица монодромии при этом оказалась равной

Будет ли решение устойчивым?

 

 

4. Матрица

является матрицей монодромии для некоторой линейной системы с периодическими коэффициентами. Существует ли у этой системы периодическое решение?

 

 

5. Задано линейное отображение , где матрица отображения задается как

Исследовать устойчивость неподвижной точки.

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: