 |
Билет. Понятие множества , элемента множества.
|
|
|
|
Под множеством понимается совокупность (набор, собрание) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами или точками этого множества. Примерами множеств являются: множество натуральных чисел, множество социальных работников, множество коммерческих банков и т. п.
Обычно множества обозначают большими буквами латинского алфавита, их элементы — малыми буквами латинского алфавита.
Иногда для обозначения элементов используются также большие буквы латинского алфавита и греческие буквы.
Множество часто записывают с помощью фигурных скобок, например:
А = {а1;a2;a3…an}. Если объект а принадлежит множеству Л, то пишут a Є (знак принадлежности) Л, в противном случае пишут а ∉ А.Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом ø. Так, например, пусто множество землян, ступивших на планету Сатурн.
Множество В называется подмножеством множества Л, если каждый элемент множества В является элементом множества Л. Символически это обозначают так: В ⊆ Л.
Если, например, А — множество всех студентов вуза, а В — множество студентов-первокурсников этого вуза, то В есть подмножество Л, т.е. В С А. Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначают это так: А = В.
Объединением двух множеств Аи В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств. Объединение множеств обозначают символом U и пишут С = Ли В = {х | х G А или х G В}.
Пересечением множеств Л и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств Л и В. Пересечение множеств обозначают символом 
и пишут
|
|
|
D = A B = {x\x 
A и x B}.
Счетным множеством называется всякое множество, элементам которого можно поставить во взаимно однозначное соответствие множество натуральных чисел.
Отсюда, счетное множество - это бесконечное множество, элементы которого можно перенумеровать натуральными числами.
Числовые множества. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Понятие числа появилось в результате необходимости счета предметов. Вначале возникли натуральные числа. Множество натуральных чисел обозначается большой ажурной латинской буквой N.
N = {1,2,3,...}.
Позже, когда возникла необходимость расчетов в торговле и начисления процентов с соответствующей суммы, были введены в обращение отрицательные числа, нуль и дроби,как отношения двух целых чисел. Множество целых чисел обозначается буквой Z:
Z = {..., -3,-2,-1,0, 1,2,3,...}.
Числа целые и дробные составляют множество рациональных чисел Q. Всякое рациональное число выражается отношением двух целых чисел или бесконечной периодической дробью.
В практической деятельности возникали задачи, когда результаты вычислений нельзя было отнести ни к одному из упомянутых выше множеств (например, результат вычисления длины диагонали квадрата). Было введено множество иррациональных чисел. Иррациональные числа выражаются бесконечной непериодической десятичной дробью. Множества рациональных и иррациональных чисел составляют множество действительных чисел 
.
Между множествами N, Z, Q и существует соотношение N Z Q .
Геометрически множество действительных чисел изображается точками числовой прямой (или числовой оси), т.е. прямой, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.
Между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т. е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой — опре-
|
|
|
деленное действительное число. Поэтому часто вместо «число х» говорят «точка х».
Множество действительных чисел дополняют двумя элементами, обозначаемыми — 
и + и называемыми минус бесконечность и плюс бесконечность. Множество М, дополненное элементами — и + , называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается с черточкой сверху. Бесконечности — и + называют еще бесконечно удаленными точками. Предполагается, что для бесконечно удаленных точек справедливы следующие правила:
х ± = ± ;
х / х ± =0;
х • (± ) = ± , если х > 0;
х • (± ) = -+ , если х < 0.
Порядок на R естественный: всякое действительное число меньше +оо и больше —оо, т.е. если х принадлежит , то — < х < + . Полезно представлять, что — на числовой прямой находится левее всех чисел, а + — правее всех чисел. Иногда множество действительных чисел дополняют одним элементом, обозначаемым и называемым бесконечностью или бесконечно удаленной точкой.
Множество X, элементы которого удовлетворяют:
- неравенству а <= х <= 6, называется отрезком (или сегментом) [а; 6];
- неравенству а < х < b — интервалом (а; 6);
- неравенствам а <=х < b или а < х <= b — полуинтервалами
соответственно [а; Ь) и (а; Ь].
Наряду с этим рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы.
В дальнейшем все указанные множества мы объединяем термином промежуток X. Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и число —х, если х отрицательно.
Заметим, что из определения следует неравенство |х |>=0.
Отметим свойства абсолютных величин:
|х+у| <= |х| + |у|,
\ху\ = \x\\y\,
|х/у|= |х|/ |у|
Интервал (а — е, а + е), т. е. множество точек, таких, что
\х — а\ < е,
где е > 0, называется е-окрестностью точки а.
|
|
|
