Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Билет. Теоремы о свойствах непрерывных функций.




 

 

Билет. Непрерывность основных элементарных функций в каждой точке, где они определены.

Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, для которых они определены.

Как известно, элементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Теорема 19.3. Если функция у=ƒ(х) непрерывна и строго монотонна на [a;b] оси (Oх, то обратная функция у=φ(х) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси Оу (без доказательства).

 

Так, например, функция tgx=sinx/cosx. в силу теоремы 19.1, есть функция непрерывная для всех значений х, кроме тех, для которых cosх=0, т. е. кроме значений х=π/2+πn, nєZ.

 

Функции arcsinx, arctgx, arccosx, arcctgx, в силу теоремы 19.3, непрерывны при всех значениях х, при которых эти функции определены.

 

 

Билет. Первая и вторая теоремы Больцано-Коши.

Теорема (первая теорема Больцано-Коши) Если функция непрерывна на I и в 2 его точках a и bпринимает значения разных знаков, то по крайней мере в одной точке c между a и b функция обращается в нуль, т.е. f(c)=0

Геометрический смысл: График непрерывной на промежутке и принимающей в двух точках этого промежутка значения разных знаков пересекает ось абсцисс по крайней мере в одной точке.

f(a)<0,f(b)>0,f(c)=0

В теореме лишь утверждается существование нуля функции такой точки c, гдеf(c)=0, но не показывает метода нахождения точки.

Теорема (вторая теорема Больцано - Коши) Если f непрерывна на I и в двух его точках a и bf(a)=A>B=f(b), то для всякой точки C∈[B,A] между точками a и b найдется хотя бы одна точка c, чтоf(c)=C.

Геометрический смысл этой теоремы: всякая прямаяy=C, где B<C<A, пересечет график функции f по крайней мере в одной точке.

 

Доказательство: Основано на первой теореме Больцано-Коши.

 

Билет. Разрывные функции. Типы разрывов.

Разрывные функции - функции, имеющие разрыв в некоторых точках. Если в точке не выполнено условие непрерывности, то такая точка называется точкой разрыв функции.

1. Тип разрыва, когда в точке x0 имеются правый и левый пределы функции, но эти пределы не равны между собой, называется скачком.

2. Пусть выполняются условия 10 и 20 , т е. функция в точке х0 определена и lim f(x) (x стр к x0) существует и условие 3 не выполняется (предел функции при х стр к х0

равен значению функции в точке х0). Такой разрыв называется устранимым.

Билет. Определение производной.

Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции Δ f в этой точке к приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю (бесконечно малому).

Билет.Приращение функции и вычисление средней скорости изменения функции.

Одним из основных свойств, характеризующих функцию, является скорость ее изменения. Пусть аргумент х функции f(x) получил приращение Δх, т.е. начальное значение аргумента равно х, а конечное х+Δх. Вычислим приращение функции, обусловленное приращением аргумента:

Δ f(х) = f(x + Δ х) - f(x) (1)

Приращение функции или аргумента – алгебраическая величина, которую нельзя отождествлять с «увеличением». Действительно, если f(x+Δх)<f(x), то Δf(x)<0 и приращение нашей функции отрицательно.

Средняя скорость изменения функции на участке от х до х+Δх, вычисляется по формуле:

(2)

Замечание: Средняя скорость изменения, как характеристика функции обладает существенным недостатком, проилюстрируем этот недостаток на примере. Пусть функции f1(x) и f2(x) получили одинаковые приращения при изменении аргумента от х до х+Δх, следовательно, одинаковыми будут и средние скорости изменения функций f1 и f2 на этом отрезке. Между тем, на практике может быть, что функция f2(х) меняется гораздо быстрее, резче, чем f1 (х).

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...