Уравнения равновесия пространственной системы сил

Тема 1.5. Пространственная система сил

Знать момент силы относительно оси, свойства момента, аналитический способ определения равнодействующей, условия равновесия пространственной системы сил.

Уметь выполнять разложение силы на три взаимно перпенди­кулярные оси, определять момент силы относительно оси.

Пространственная система сил — система сил, линии дей­ствия которых не лежат в одной плоскости.

Момент силы относительно оси

Момент силы относительно оси равен моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересече­ния оси с плоскостью (рис. 7.1а).

а — расстояние от оси до проекции F;

np F — проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси ОО.

Np F = F cos α; Moo{F) = F cos a ∙ а.

 

Момент считаем положительным, если сила разворачивает тело по часовой стрелке. Смотреть со стороны положительного направле­ния оси.

Тема 1.5. Пространственная система сил 51

Если линия действия силы пересекает ось или линия действия силы параллельна оси, моменты силы относительно этой оси равны нулю (рис. 7.16).

Силы и ось лежат в одной плоскости, они не смогут повернуть тело вокруг этой оси.

Пространственная сходящаяся система сил

Вектор в пространстве

В пространстве вектор силы проецируется на три взаимно пер­пендикулярные оси координат. Проекции вектора образуют ребра прямоугольного параллелепипеда, век­тор силы совпадает с диагональю (рис. 7.2).

Модуль вектора может быть полу­чен из зависимости

 

 

Пространственная сходящаяся система сил

Пространственная сходящаяся система сил — система сил, не лежащих в одной плоскости, линии действия которых пересе­каются в одной точке.

Равнодействующую пространственной системы сил можно опре­делить, построив пространственный многоугольник (рис. 7.3),

Доказано, что равнодействующая системы сходящихся сил при­ложена в точке пересечения линий действия сил системы.

Модуль равнодействующей пространственной системы сходя­щихся сил можно определить аналитически, использовав метод про­екций.

52 Лекция 7

Совмещаем начало координат с точкой пересечения линий дей­ствия сил системы. Проецируем все силы на оси координат и сум­мируем соответствующие проекции (рис. 7.4). Получим проекции равнодействующей на оси координат:

 

 

Модуль равнодействующей системы сходящихся сил определим по формуле

Направление вектора равнодействующей определяется углами

Произвольная пространственная система сил

Приведение произвольной пространственной системы сил к центру О

Дана пространственная система сил (рис. 7.5а). Приведем ее к центру О.

Силы необходимо параллельно перемещать, при этом образует­ся система пар сил. Момент каждой из этих пар равен произведению модуля силы на расстояние до центра приведения.

Тема 1.5. Пространственная система сил 53

В центре приведения возникает пучок сил, который может быть заменен суммарной силой (главный вектор) - F _гл (рис. 7.56).

Моменты пар сил можно сложить, получив суммарный момент системы М _гл (главный момент).

Таким образом, произвольная пространственная система сил приводится к главному вектору и главному моменту.

 

Главный вектор принято раскладывать на три составляющие, направленные вдоль осей координат (рис. 7.5в).

Обычно суммарный момент раскладывают на составляющие: три момента относительно осей координат.

Абсолютное значение главного вектора (рис. 7.56) равно

 

54 Лекция 7

Уравнения равновесия пространственной системы сил

При равновесии F _гл= 0; М _гл = 0. Получаем шесть уравнений равновесия:

Шесть уравнений равновесия пространственной системы сил со­ответствуют шести независимым возможным перемещениям тела в пространстве: трем перемещениям вдоль координатных осей и трем вращениям вокруг этих осей.

Примеры решения задач

Пример 1. На тело в форме куба с ребром а — 10 см действуют три силы (рис. 7.6). Определить моменты сил относительно осей координат, совпадающих с ребрами куба.

Решение

1. Моменты сил относительно оси Ох:

2. Моменты сил относительно оси Оу:

Тема 1.5. Пространственная система сил 55

Пример 2. На горизонтальном валу закреплены два колеса, r1 = 0,4 м; гз = 0,8 м. Остальные размеры — на рис. 7.7. К коле­су 1 приложена сила F 1, к колесу 2 — силы F₂ = 12 кН, F3= 4кН.

Определить силу F 1и реакции в шарнирах А и В в состоянии равновесия.

Напомним:

1. При равновесии вы­полняются шесть рав­нений равновесия.

Уравнения моментов следует составлять от­носительно опор А и В.

2. Силы F ₂\\Ox; F 1 \\Oy; F 3\\Оу.

Моменты этих сил относительно соответ­ствующих осей равны нулю.

3. Расчет следует завершить проверкой, ис­пользовав дополнительные уравнения равновесия.

 

Решение

1. Определяем силу F1, составив уравнение моментов сил отно­сительно оси Oz:

2. Определяем реакции в опоре А. На опоре действуют две со­ставляющие реакции ( Y а; Х A).

Составляем уравнение моментов сил относительно оси Ох' (в опоре B).

Поворот вокруг оси Ох' не происходит:

56 Лекция 7

Знак «минус» означает, что реакция направлена в противоположную сторону.

Поворот вокруг оси Оу' не происходит, составляем уравнение моментов сил относительно оси Оу' (в опоре В):

 

3. Определяем реакции в опоре В. На опоре действуют две составляющие реакции (ХВ; Yb). Составляем уравнение моментов сил
относительно оси Ох (опора А):

Составляем уравнение моментов относительно оси Оу (опора А):

 

4. Проверка. Используем уравнения проекций:

Расчет выполнен верно.

 

Контрольные вопросы и задания

1. Запишите формулы для расчета главного вектора простран­ственной системы сходящихся сил.

Тема 1.5. Пространственная система сил 57

2. Запишите формулу для расчета главного вектора простран­ственной системы произвольно расположенных сил.

3. Запишите формулу для расчета главного момента простран­ственной системы сил.

4. Запишите систему уравнений равновесия пространственной системы сил.

5. Какое из уравнений равновесия нужно использовать для опре­деления реакции стержня R1 (рис. 7.8)?

 

6. Определите главный момент системы сил (рис. 7.9). Точка
приведения — начало координат. Координатные оси совпадают с
ребрами куба, ребро куба равно 20 см; F1 = 20 кН; F2 = 30 кН.

 

7. Определите реакцию ХВ (рис. 7.10). Вертикальная ось со
шкивом нагружена двумя горизонтальными силами. Силы F 1 и F2 параллельны оси Ох. АО = 0,3 м; ОB = 0,5 м; F1 = 2 кН; F2 = 3,5 кН.

Рекомендация. Составить уравнение моментов относительно оси Оу' в точке А.

58 Лекция 7

8. Ответьте на вопросы тестового задания.

Тема 1.5. Статика.

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: