Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Дифференциальная геометрия и топология




П Р О Г Р А М М А

ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА

Для выпускников специальности 1-31 03 01 «Математика»

(срок обучения: 5 лет)

 

 

Программа утверждена Советом

математического факультета

Протокол № 6

от “ 23января 2017 г.

 

Декан математического факультета

___________ С.П.ЖОГАЛЬ

 

 

Гомель 2017

На государственном экзамене выпускник должен продемонстрировать умение систематизировать информационные сведения программы экзамена, знание основных теорем и понятий, понимание взаимосвязей между ними, умение ими пользоваться.

С учетом этих требований экзаменующийся по каждому вопросу билета должен сделать обзор материала, соответствующего формулировке вопросов, сопровождая ответ доказательством отдельных теорем.

 

 


Математический анализ

 

1. Числа натуральные, рациональные и действительные. Полнота множества действительных чисел.

 

2. Последовательности и их сходимость (сходящиеся последовательности в метрическом пространстве; сходящиеся последовательности действительных чисел; теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности; свойства последовательностей действительных чисел, связанные с арифметическими операциями над последовательностями).

 

3. Числовые ряды (сходимость числовых рядов; сходимость рядов с неотрицательными членами, признаки их сходимости; абсолютно сходящиеся ряды, их свойства; условно сходящиеся ряды).

 

4. Производная функции в точке. Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков.

 

5. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Формула Тейлора.

 

6. Непрерывные функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

 

7. Интеграл Римана (определение, существование, свойства; дифференцируемость интеграла Римана по верхнему пределу). Существование первообразной у непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

 

8. Дифференцируемость функций нескольких переменных (частные производные и дифференциалы функций многих переменных; необходимые условия дифференцируемости функций многих переменных; достаточные условия дифференцируемости).

 

9. Производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Необходимые условия локального экстремума функции многих переменных.

 

 

10. Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Достаточные условия локального экстремума.

 

 

11. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов (критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов; признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда).

 

12. Двойной интеграл Римана (сведение двойного интеграла к повторному; замена переменных в двойном интеграле) кратные интегралы.

 

13. Криволинейные интегралы (формула Грина; условия независимости криволинейного интеграла от формы пути).

 

14. Криволинейные и поверхностные интегралы. Формула Остроградского-Гаусса. Формула Стокса.


Функциональный анализ и интегральные уравнения

1. Мера. Мера Лебега на прямой. Интеграл Лебега: определение и свойства.

 

2. Метрические пространства. Непрерывные функции. Свойства функций, непрерывных на компакте.

 

3. Нормированные пространства (банаховы пространства; гильбертовы пространства; ортогональные системы; ряды Фурье; равенство Парсеваля; неравенство Бесселя).

 

4. Линейные функционалы и операторы (норма оператора; связь непрерывности линейного оператора с его ограниченностью; теорема Банаха-Штейнгауза (принцип равномерной ограниченности); теорема Банаха об обратном операторе, линейные функционалы; теорема Хана-Банаха).

 

5. Компактные операторы. Альтернатива Фредгольма.

 

Теория функций комплексного переменного

 

1. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность. Степенной ряд, круг его сходимости. Ряд Тейлора.

 

2. Интегральная теорема Коши. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. Интегральная формула Коши.

 

3. Ряд Лорана. Особые точки. Вычет. Применения теории вычетов. Теорема о разложении аналитической функции в ряд Лорана.

 

Теория вероятностей и математическая статистика

 

1. Аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Схема Бернулли.

 

2. Функция распределения, плотность вероятности, их свойства. Закон распределения случайной величины.

 

3. Выборка и генеральная совокупность. Несмещенность, эффективность и состоятельность оценок. Критерий согласия .

Алгебра и теория чисел

 

1. Основные алгебраические структуры (аддитивная и мультипликативная группы, кольца, поля: определения и примеры).

 

2. Делимость в кольце целых чисел (определение делимости; теорема о делении с остатком; алгоритм Евклида; нахождение наибольшего общего делителя двух целых чисел с помощью алгоритма Евклида; связь наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух натуральных чисел; разложение натурального числа на простые множители и его единственность (основная теорема арифметики)).

 

3. Кольцо классов вычетов (определение сравнимости двух целых чисел по натуральному модулю; свойства сравнений; классы вычетов; операции на классах вычетов; кольцо классов вычетов).

 

4. Поле комплексных чисел (операции над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах; формула Муавра; извлечение квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме; извлечение корня n-ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме).

 

5. Определители (формула определителя квадратной матрицы; вычисление определителей малых порядков; вычисление определителя разложением по строке (столбцу); теорема об определителе произведения матриц; обратимые матрицы; вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений).

 

6. Системы линейных уравнений (совместные, несовместные и равносильные системы; критерий совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли); крамеровская система; правило Крамера и матричный метод решения крамеровских систем; однородная система линейных уравнений; условия существования ненулевого решения однородной системы линейных уравнений).

 

7. Кольцо многочленов от одной переменной (теорема о делении с остатком, алгоритм Евклида и нахождение наибольшего общего делителя двух многочленов с его помощью; корни многочленов; теорема Безу).

 

8. Основная теорема алгебры комплексных чисел (теорема Гаусса) и её следствия; комплексные корни многочленов с действительными коэффициентами.

 

9. Векторное пространство над полем, примеры (понятие подпространства; линейная зависимость векторов; базис векторного пространства; понятие размерности; координаты вектора; евклидовы и унитарные пространства; длина вектора; теорема Коши-Буняковского; ортонормированные базисы).

 

10. Линейные отображения (ядро и образ линейного отображения; ранг и дефект линейного оператора, примеры; матрица линейного оператора; собственные векторы и собственные значения линейных операторов; ортогональные и самосопряженные линейные операторы; теорема об ортогональных и самосопряженных линейных операторах).

 

Аналитическая геометрия

 

1. Различные виды уравнений прямой на плоскости (общее; по двум точкам; по угловому коэффициенту и точке; каноническое; параметрические; в отрезках по осям).

 

2. Плоскость и ее уравнения. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

 

3. Кривые второго порядка (упрощение общего уравнения линии второго порядка с помощью преобразования системы координат; канонические уравнения кривых второго порядка).

Дифференциальная геометрия и топология

1. Кривые в пространстве (способы задания кривых; плоские кривые; касательная и нормаль; кривизна; пространственные кривые; кривизна и кручение; сопровождающий трехгранник Френе; формулы Френе).

 

2. Поверхность и её уравнения (различные способы задания поверхностей; касательная плоскость и нормаль к поверхности; классификация точек поверхности).

 

3. Понятие топологического пространства (замыкание, внутренность и граница; метрические пространства как пример топологических пространств).

 

4. Непрерывные отображения топологических пространств (гомеоморфизм; понятие топологического свойства: связность, компактность; критерии компактности в метрических пространствах (в R; в C [a,b])).

 

Основания геометрии

 

1. Аксиоматический метод. Аксиоматическое построение евклидовой геометрии (системы аксиом Гильберта и Вейля). Геометрия Лобачевского. Модель Кэли-Клейна.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...