Теперь усложним задачу и рассмотрим случай, когда сила трения, действующая на тело, – переменная, то есть зависит от пройденного пути.
3.6*. Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Коэффициент трения зависит от пройденного пути по закону , где - постоянная. Найти путь, пройденный бруском до остановки. Решение. Рассмотрим силы, действующие на брусок при его движении вниз. На брусок действуют три силы: сила тяжести , сила нормальной реакции опоры и сила трения (рис.23). Направим ось X вдоль наклонной плоскости вниз, а ось Y - перпендикулярно плоскости вверх. Запишем основной закон динамики в проекциях на оси X и Y соответственно: , . Учитывая, что , запишем уравнение движения тела: , . По определению , откуда , поэтому, произведя замену переменных, получим: . Разделим переменные , и проинтегрировав левую часть этого выражения от до (скорость бруска в момент остановки равна нулю ), а правую от до , найдем путь, пройденный бруском до остановки: , , , где координата x равна пройденному пути. 3.7. На горизонтальной плоскости расположены два связанных друг с другом нитями тела массами m1 и m2. На нити, прикрепленной к телу массой m2 и перекинутой через неподвижный блок, подвешено тело массой m0. Массы блока и нитей пренебрежимо малы, трения в блоке нет. Найти ускорение, с которым опускается тело массой m0, и силу натяжения нити, связывающей тела m1 и m2, если коэффициент трения между горизонтальной плоскостью и телами m1 и m2 равен . Решение. Покажем силы, действующие на тела при движении тела массой m0 вниз (рис.24). Направим ось Y в направлении движения тела массой m0, а ось X – перпендикулярно ей по горизонтали влево. Поскольку тела связаны невесомыми и нерастяжимыми нитями, то модули сил натяжения для каждой нити равны между собой и все тела движутся с одинаковым по модулю ускорением:
и , , . Учитывая это, запишем уравнения движения для каждого бруска в проекциях на оси X и Y: , , . , , . . Решим полученную систему уравнений и найдем ускорение, с которым опускается тело массой m0: . Тогда, сила натяжения нити, связывающей тела m1 и m2 равна Теперь рассмотрим динамику материальной точки, движущейся по окружности. В этом случае одну ось направляют вдоль тангенциального ускорения, то есть по касательной к траектории, другую - вдоль нормального ускорения. 3.8. Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости. Найти ускорение шарика в крайней точке, если угол отклонения нити от вертикали равен . Решение. Шарик движется неравномерно по окружности, радиус которой равен длине нити l. На шарик действуют сила натяжения нити и сила тяжести (рис.25). Согласно второму закону Ньютона . При неравномерном движении по окружности полное ускорение равно , где - центростремительное (нормальное) ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру, - касательное (тангенциальное) ускорение, совпадающее по направлению с направлением скорости. Направим орт из точки 1 вдоль нити к центру окружности, а орт - перпендикулярно орту . В верхней точке 1 скорость шарика равна нулю, следовательно, его центростремительное ускорение также равно нулю . Это означает, что полное ускорение шарика в точке 1 будет определяться только его тангенциальным ускорением . Найдем полное ускорение шарика, воспользовавшись уравнением движения в проекциях на орт : . Ускорение шарика в крайней точке равно .
3.9. Самолет делает «мертвую петлю» радиусом R. В верхней точке его скорость равна . В кабине находится человек, масса которого равна m. Найти силу, прижимающую человека к сидению в верхней точке траектории. Решение. По условию скорость самолета в верней точки траектории равна . В этой точке сила, действующая на человека складывается из направленных вниз силы тяжести и силы реакции опоры, действующей на человека со стороны сиденья (рис. 26). Направим ось n к центру траектории и запишем уравнение движения в проекциях на эту ось
, где - ускорение летчика в верхней точке траектории. Сила, прижимающая человека к сиденью (по определению это вес человека), определим по третьему закону Ньютона. Она равна по величине силе , но противоположно ей направлена (рис.26) . Поэтому величина этой силы равна . Если , то человек испытывает «невесомость». 3.10. Для подготовки летчиков-космонавтов к перегрузкам применяют специальные центрифуги. При какой частоте вращения центрифуги радиуса R спинка сиденья давит на летчика с такой же силой, которая возникает при подъеме ракеты с ускорением . Решение. На тело в ракете, движущейся вертикально вверх с ускорением , действуют сила тяжести , направленная вертикально вниз, и сила , направленная вертикально вверх со стороны сиденья (рис.27). Запишем уравнение движения в проекциях на ось Y, положительное направление которой совпадает с направлением ускорения , откуда . При движении центрифуги сила, с которой спинка сиденья давит на летчика, сообщает ему центростремительное ускорение , где - угловая скорость вращения центрифуги. Запишем уравнение движения в проекциях на ось X (рис.28): . Выразим угловую скорость через частоту вращения и, решив совместно последние три уравнения, получим частоту вращения центрифуги .
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|