 |
Законы изменения и сохранения момента импульса
|
|
|
|
Момент импульса материальной точки. Момент силы
Моментом импульса материальной точки относительно точки 0 называют величину, определяемую векторным произведением
,
где 
- радиус-вектор материальной точки, проведенный из точки О, 
- ее импульс (рис.47). Направление вектора 
совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .
Модуль момента импульса равен произведению импульса на плечо
,
где 
- плечо вектора .
Найдем производную по времени от момента импульса материальной точки относительно точки О
,
то есть она равна моменту результирующей силы относительно точки О (в силу параллельности векторов 
и 
их векторное произведение равно нулю 
=0). Модуль момента силы (рис.48) равен
,
где - плечо силы 
.
Выражение
есть закон изменения момента импульса материальной точки, часто называемого уравнением моментов.
В проекциях на некоторую на ось Z, проходящую через точку О уравнение моментов примет вид
.
Если тело участвует во вращении относительно этой оси, то уравнение моментов удобно записывать в проекциях на эту ось.
Решение задач
6.1. К точке А, радиус-вектор который относительно начала координат О равен 
, приложена сила 
, где a, b, A, B - постоянные, 
, 
, 
- орты осей X, Y и Z. Найти плечо l силы 
и ее момент 
относительно точки О.
Решение. По определению момент силы относительно точки О равен
.
Величину найдем, подставив значения и в исходную формулу
.
Направление вектора определим согласно правилу векторного произведения векторов (рис.49). Вектор момента силы перпендикулярен плоскости XY.
Модуль момента силы по определению равен:
,
где l - плечо силы. Плечо l силы 
относительно точки О равно
|
|
|
.
6.2*. Небольшая шайба массы 
начинает скользить с вершины гладкой наклонной плоскости, высота которой 
и угол наклона к горизонту 
(рис.50). Найти модуль момента импульса шайбы относительно точки О через время 
после начала движения.
Решение. По определению момент импульса равен произведению импульса на плечо
.
Сначала найдем скорость движения шайбы, а потом, воспользовавшись определением, момент импульса шайбы.
Проанализируем силы, действующие на шайбу при ее движении вниз. На шайбу действуют сила тяжести 
и сила нормальной реакции опоры 
(рис.50). Направим ось X вдоль наклонной плоскости вниз (по ускорению), а ось Y - перпендикулярно плоскости вверх. Уравнение движения шайбы в проекциях на ось X примет вид
,
.
Поэтому скорость шайбы в момент времени 
(см. раздел I) равна
.
Тогда момент импульса шайбы относительно точки О равен
,
где 
- плечо силы, под действием которой движется шайба вдоль оси X, относительно точки О. Выразим длину плеча 
(рис.50) и определим модуль момента импульса шайбы относительно точки О
.
6.3. На массивный неподвижный блок радиуса R намотана легкая нерастяжимая нить, к свободному концу которой подвешено небольшое тело массы m. В момент t= 0 систему предоставили самой себе, и она пришла в движение. Найти ее момент импульса относительно оси блока в зависимости от t.
Решение. Покажем силы, действующие на тела системы (рис.51). На блок действуют - сила тяжести 
, сила реакции крепления 
и сила натяжения нити 
, на груз - сила тяжести и сила натяжения нити 
. Вследствие невесомости нити 
.
Момент импульса системы относительно оси блока (ось Z на рисунке направлена от нас 
) равен
,
где 
- суммарный момент сил системы относительно оси Z. Сила тяжести блока и сила реакции крепления проходят через ось Z, относительно которой мы ищем моменты этих сил, поэтому их моменты будут равны нулю. Силы натяжения нити и , равны по величине и противоположны по направлению и действуют вдоль одной прямой, поэтому их суммарный момент равен нулю. Момент импульса относительно оси Z имеет только сила тяжести груза . За промежуток времени dt момент импульса системы относительно оси Z получит приращение
|
|
|
,
где R - плечо силы тяжести относительно оси Z. Проинтегрировав левую часть полученного уравнения от 0до 
, а правую от 0 до t, найдем момент импульса системы относительно оси Z в зависимости от t:
.
|
|
|
