Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца
Стр 1 из 3Следующая ⇒ Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков Пусть дана квадратная матрица второго порядка:
Определителем (или детерминантом) второго порядка, соот твующим данной матрице, называется число
Определитель второго порядка записывается так: Отметим, что определитель второго порядка равен разности попарных произведений элементов главной и побочной диагоналей. 26. Вычислить определители второго порядка: 27—32. Вычислить определители: Пусть дана квадратная матрица третьего порядка: Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим дайной матрице, называется число Определитель третьего порядка записывается так: При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правилом Сарруса). Это правило проиллюстрируем на схеме: Три положительных члена определителя представляют собой произведения элементов главной диагонали и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников основания которых параллельны главной диагонали (а12а23а31 и а21а32а13). Три отрицательных его члена есть произведение элементов побочной диагонали и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали ( и а11а23а32) 33. Вычислить определители третьего порядка: 34—39. Вычислить определители: Основные свойства определителей 1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (т. е. транспонировать): Например, Это свойство называют свойством равноправности строк и столбцов. 2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный:
Например, Поменяв местами первый и второй столбцы, получим 3. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя: Например, Если множитель (—2) вынести за знак определителя, то получим 4. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю. Например, Из свойств 3 и 4 вытекает следующее свойство: 5. Пели все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. Например, 6. Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столо- ца) умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины: 7. Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали, — нули, равен произведению элементов главной диагонали: Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя Минором элемента определителя не и меняются от 1 до п, называется такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент. Например, минор , соответствующий элементу определителя получается, если вычеркнуть из определителя D первую строку и второй столбец, т. е. 40. Записать все миноры определителя 41. Записать все миноры определителя Алгебраическим дополнением элемента определителя D называется минор этого элемента, взятый со знаком .Алгебраическое дополнение элемента принято обозначать . Таким образом, 42. Найти алгебраические дополнения элементов определителя 43. Найти алгебраические дополнения элементов Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя D на их алгебраические дополнения равна этому определителю, т. е.
или Эти соотношения называются разложением определителя по элементам i-й строки или j-го столбца. 44. Определитель разложить: а) по элементам 1-й строки; б) по элементам 2-го столбца. Если определитель имеет четвертый или более высокий поря-то его также можно разложить по элементам строки или столбца а затем понижать порядок алгебраических дополнений. 45. Вычислить определитель Решение. Разложим определитель по элементам 1-й строки (так как она содержит два нулевых элемента): Поскольку второй и четвертый члены разложения равны нулю, имеем 46—48. Вычислить определители третьего порядка: 51. Вычислить определители четвертого порядка: Перечислим различные способы вычисления определителей. 1. Определитель можно вычислить, используя непосредственно его определение. Этим способом удобно находить определители второго и третьего порядков, а для определителя более высокого порядка применим следующий способ. 2. Определитель можно вычислить с помощью его разложения по элементам строки или столбца. 3. Определитель можно вычислить способом приведения к треугольному виду. Этот способ основан на том, что в силу свойства 7 треугольный определитель равен произведению элементов 1 главной диагонали. Чтобы получить треугольный определитель, нужно, используя свойство 6, к какой-либо строке (или столбцу) заданного определителя прибавлять соответствующие элементы другой строки 1 (или столбца), умноженные на одно и то же число, до тех пор пока не придем к определителю треугольного вида. Пусть, например, требуется вычислить определитель Вычитая первую строку из всех остальных, сразу получим определитель треугольного вида: § 3. Обратная матрица. Обращение матриц второго! и третьего порядков • I. Определение обратной матрицы • 2. Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|