Уравнение плоскости в отрезках. Неполные уравнения плоскости.
Вопрос № 64
Уравнение плоскости в отрезках. Неполные уравнения плоскости. Исследование общего уравнения плоскости , (7) где – координаты ее нормального вектора, производится аналогично исследованию общего уравнения прямой на плоскости. Приведем ниже все случаи. Если , то уравнение (7) может быть записано в виде уравнения плоскости в отрезках: (10) – плоскость, отсекающая от осей координат отрезки величиной а, b и с соответственно, где обозначено . рис.6. Определение. Уравнение называется неполным уравнением плоскости, если хотя бы один из его коэффициентов А, В, С, D равен нулю. Если , то уравнение (7) имеет вид . (11) В координатной плоскости Оуz это уравнение есть уравнение прямой, а так как , то данная плоскость параллельна оси Ох. Уравнение (11) может быть записано в виде (12) или – уравнение плоскости параллельной координатной плоскости Охz и отсекающей от оси Оу отрезок величины b, или – уравнение плоскости параллельной координатной плоскости Оху и отсекающей от оси Оz отрезок величины с. рис.7. рис.8. рис.9. Если , то уравнение (6) имеет вид . (13) Это уравнение прямой в координатной плоскости Оуz, проходящая через начало координат и в то же время уравнение плоскости, содержащей ось Ох. рис.10. Если в уравнении (13) , то получаем – уравнение координатной плоскости Оху. Если в уравнении (13) , то получаем – уравнение координатной плоскости Охz. Ситуации, когда или исследуются аналогично. Подведем итог исследованию общего уравнения плоскости . (7) 1) Если , то можно уравнение (7) записать в виде уравнения в отрезках , где а, b, с – величины отсекаемых плоскостью от координатных осейотрезков.
2) Если , но один из коэффициентов А, В, С равен нулю, то получаем уравнение плоскости в виде или или – плоскость параллельная оси Оz или Оу или Ох соответственно. 3) Если , но два из коэффициентов А, В, С равны нулю, то получаем уравнение плоскости в виде или или – соответственно плоскость параллельна координатной плоскости Оуz или Охz или Оху. 4) Если , то уравнение (7) принимает вид – плоскость содержит начало координат. 5) Если и один из коэффициентов А, В, С равен нулю, то получаем уравнение плоскости в виде или или – плоскость содержит соответственно ось Ох или ось Оу или ось Оz. 6) Если и два из коэффициентов А, В, С равны нулю, то получаем уравнение плоскости в виде или или – уравнение соответственно координатных плоскостей Оуz или Охz или Оху. п.6. Нормированное уравнение плоскости и прямой на плоскости. Пусть (1) – векторное уравнение плоскости или прямой на плоскости, где – нормальный вектор плоскости (прямой), – радиус-вектор фиксированной точки плоскости (прямой), – радиус-вектор текущей точки плоскости (прямой). Заметим, что в уравнении (1) длина нормального вектора не играет никакой роли. Выберем в уравнении (1) в качестве нормального вектора нормальный вектор единичной длины , а направление нормальноговектора выберем такое, чтобы угол между вектором и был острый. Смотри следующие рисунки.рис.11. рис.12. Иначе, направление вектора должно быть от начала координат к плоскости (прямой). Раскроем в уравнении (1) скобки и разделим обе части уравнения на , если скалярное произведение или на , если . Получим , (14) где . Обозначим и пусть , . Так как координатами единичного вектора являются его направляющиекосинусы, то . Подставляя в (14), получаем . Определение. Уравнение вида , (15) где , – направляющие косинусы нормального вектораплоскости, называется нормированным (нормальным) уравнением плоскости.
В случае прямой на координатной плоскости Оху имеем: , , и . Определение. Уравнение вида , (16) где , – направляющие косинусы нормального векторапрямой, называется нормированным (нормальным) уравнением прямойна координатной плоскости Оху. Заметим, что в уравнениях (15) и (16) свободный коэффициент (– р) отрицательный, р численно равно расстоянию от начала координат до плоскости (прямой): . В этом заключается геометрический смысл свободного члена р в этих уравнениях. Пример. Записать нормированное уравнение плоскости, если его общее уравнение имеет вид: и найти расстояние от начала координат до плоскости. Решение. Имеем, , . Так как свободный коэффициент этого уравнения равен положительному числу 26, то для получения нормированного уравнения плоскости разделим обе части общего уравнения на число, противоположное модулю нормального вектора: . Ответ: – нормированное уравнение плоскости.Расстояние от начала координат до плоскости равно 2.Аналогично приводится к нормальному виду общее уравнение прямой.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|