Координатная плоскость. Построение параметрического семейства кривых (метод сечений).
Предположим, что уравнение или неравенство, содержащее параметр, приведено к виду или . Тогда уравнение определяет на координатной плоскости некоторую кривую, а уравнение - семейство кривых, в котором каждому допустимому значению параметра соответствует одна кривая. При этом в зависимости от значений параметра кривые семейства могут занимать различные положения относительно кривой . Графическое исследование сечения кривой семейством кривых позволяет найти дальнейшее правильное аналитическое решение исходного уравнения или неравенства. 8. Найти все значения параметра , при которых неравенство выполняется при всех действительных значениях . Решение. Перенесем слагаемые, не содержащие параметр, в правую часть неравенства: . Построим график функции и найдем те значения , при которых все точки графиков параметрического семейства функций лежат выше этого графика. ; . Очевидно, что контрольным значением параметра является значение параметра , при котором график функции проходит через точку . Подставим ее координаты в уравнение , получим: ; . Ответ: .
9. Найти все значения параметра , при которых неравенство выполняется при всех действительных значениях . Решение. Представим неравенство как квадратное относительно и сделаем замену . Получим следующую систему неравенств: . Абсцисса вершины квадратного трехчлена зависит от параметра: . Семейство парабол разделим на три группы. К первой отнесем те из них, вершины которых расположены левее промежутка ; ко второй – вершины которых расположены внутри или на границе промежутка ; к третьей - вершины которых расположены правее этого промежутка. Необходимым и достаточным условием положительности функции в указанном промежутке является выполнение неравенства при . Для первой группы – это неравенство , для второй - , для третьей - . Таким образом, получим совокупность трех систем неравенств:
(1), (2), (3). Решим последовательно каждую из них. (1), . (2). Система несовместна. (3), . Ответ: , . 10. Найдите все значения , при каждом из которых система имеет единственное решение. Решение Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда графики функций и имеют единственную общую точку. Первое уравнение запишем в виде . Это система задает верхнюю полуокружность с центром и радиусом 2. Второе уравнение запишем в виде . Это система задает верхнюю полуокружность с центром и радиусом 2. При полуокружности совпадают. При , полуокружности не имеют общих точек. При , полуокружности имеют единственную общую точку. Ответ: , . 11. Найти все значения параметра , при каждом из которых система неравенств имеет решения. Решение Первое неравенство задает на координатной плоскости круг радиуса с центром в точке . Второе неравенство задает полуплоскость с границей . Очевидно, что центр круга при всех значениях лежит вне заданной полуплоскости, т.к. . Система имеет решения, если круг и полуплоскость имеют общие точки, т.е. если радиус окружности не меньше расстояния от точки до прямой . Расстояние от точки до прямой находится по формуле . Отсюда ; ; .
Не используя данную формулу, можно было потребовать, чтобы радиус был не меньше расстояния между параллельными прямыми и . ; ; ; . Далее аналогично. Ответ: ; . 12. (ЕГЭ 2011). Найдите все положительные значения , при каждом из которых система имеет единственное решение. Решение Если , то уравнение задаёт окружность с центром в точке радиуса 3, а если , то оно задаёт окружность с центром в точке радиуса 3. При положительных значениях параметра уравнение задаёт окружность с центром в точке радиуса . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения , при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и .
Из точки проведем луч и обозначим и точки его пересечения с окружностью , где лежит между и . Так как , то , . При или окружности и не пересекаются. При окружности и имеют две общие точки. При или окружности и касаются.
Из точки проведем луч и обозначим и точки его пересечения с окружностью , где лежит между и . Так как , то , . При или окружности и не пересекаются. При окружности и имеют две общие точки. При или окружности и касаются. Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно с одной из окружностей и и не пересекается с другой. Ответ: ; . 13. (ЕГЭ 2011). Найдите все значения , при каждом из которых система имеет единственное решение.
Решение Первое уравнение при условии задает на плоскости две единичные окружности с центрами и , а второе – прямую с угловым коэффициентом , проходящую через точку .
Прямая касается окружности с центром в точке единичного радиуса тогда и только тогда, когда система имеет единственное решение. Для этого необходимо, чтобы квадратное уравнение имело единственное решение. Приведем уравнение к виду и из равенства нулю дискриминанта получим: , откуда . Значит, и система имеет решения только при . Аналогично, прямая касается окружности с центром в точке единичного радиуса тогда и только тогда, когда система имеет единственное решение. Для этого необходимо, чтобы квадратное уравнение имело единственное решение. Приведем уравнение к виду и из равенства нулю дискриминанта получим: , откуда . Значит, и система имеет решения только при . Так как , то исходная система имеет единственное решение при и при . Ответ: ; .
Решение Выражаем из второго уравнения и подставляем в первое, получаем следующую систему: . Решим уравнение . Рассмотрим взаимное расположение графиков функций и в следующих трех случаях:
Итак, при графики функций и общих точек не имеют и, следовательно, уравнение не имеет корней. При графики пересекаются в точке с абсциссой и уравнение имеет один корень .
При графики пересекаются в точке с абсциссой и уравнение имеет один корень . Подставим во второе уравнение системы: . ; . Ответ:
4.2. Координатно – параметрическая плоскость. Метод областей. При графическом исследовании задач с параметрами наряду с координатной плоскостью целесообразно также использовать координатно – параметрическую плоскость . Если возможно построить на координатно – параметрической плоскости множество всех точек, координаты которых и удовлетворяют условию задачи, то затем нетрудно поставить в соответствие каждому значению параметра этого множества значение соответствующей координаты . Это и будет решением задачи. Следует также указать те значения параметра, при которых задача не имеет решения. Выбор контрольных значений параметра определяется конкретным видом построенных множеств. 15. (ЕГЭ 2011). Найдите все значения , при каждом из которых система имеет решения. Решение Разложим левую часть неравенства на множители . Это неравенство задаёт пару вертикальных углов плоскости . Уравнение задаёт окружность с центром радиуса 5. Решения системы – точки дуг окружности, лежащие в указанных вертикальных углах. Абсциссы концов этих дуг находим из систем и
; . ; .
Ответ: ; .
16. Найдите все значения параметра , при котором уравнение имеет нечетное число различных корней. Решение Разложим левую часть уравнения на множители: ; . Таким образом, получили следующую совокупность двух уравнений: . На плоскости построим графики функций и
- точка максимума - точка максимума -точка минимума - точка минимума ; . ; .
Ответ: -27; 0; 27. 17. Найдите все значения , при каждом из которых общие решения неравенств и образуют на числовой оси отрезок длины единица. Решение. Представим данные неравенства в виде следующей системы: .
На плоскости решением этой системы являются точки, лежащие не ниже параболы и не выше параболы . Найдем точки пересечения этих парабол: ; ; ; . Отметим, что так как , то точка пересечения парабол с координатами лежит правее вершины параболы , координаты которой . Решим относительно уравнения и ; . Таким образом, следует рассмотреть три системы: ; ; Решение системы : ; системы : . Система несовместна, так как решение второго уравнения системы . Ответ: ; .
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|