Расчетно-графическое задание №2

Определение положения центра тяжести плоского тела

Найти координаты центра тяжести плоской фигуры, размеры — в сантиметрах.

Пример выполнения задания:

 

Определить координаты центра тяжести плоской фигуры, показанной на рис. 1.

 

Решение

Рис.1

 

Координаты центра тяжести площади определяем по формулам:

x_C = ; y _C = . (1)

Чтобы воспользоваться этими формулами, площадь фигуры делим на отдельные части, положения центров тяжести которых известны. В данном случае такими частями являются: прямоугольник, треугольник и половина круга (рис.2). Площадь половины круга, вырезанную из площади прямоугольника, считаем отрицательной.

Имеем:

площадь прямоугольника

F ₁ = 40 • 30 = 1200 см²,

площадь треугольника

F ₂ = = 1000 см²;

площадь половины круга

F ₃ = = 200 p = 628 см ²

 

Рис.2

 

 

Центры тяжести рассматриваемых частей сечения имеют следующие координаты:

для прямоугольника

х ₁ = 15 см; у ₁ = 20 см;

для треугольника

x ₂ = 30 + = 46,7 см; y ₂ = = 13,3 см;

для половины круга

х ₃ = = = 8,5 см; y ₃ = 20 см.

 

Для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры составляем таблицу.

Номер элемента	Fi,см 2	xi,см	yi,см	Siy = Fi xi, см 3	Six = Fi yi, см 3
	-628	15,0 46,7 8,5	20,0 13,3 20,0	-5338	-12560
S		--	--

 

По формулам (1) вычисляем координаты центра тяжести плоской фигуры:

x _C = =37,8 см; y _C = =15,7 см.

Центр тяжести площади указан на рис. 2.

 

 

Определение траектории, скорости и ускорения точки, при движении её в координатной форме.

 

Если точка движется относительно некоторой системы координат, то координаты точки изменяются с течением времени. Уравнения, выражающие функциональные зависимости координат движущейся точки от времени, называют уравнениями движения точки в системе координат.

Движение точки в пространстве задается тремя уравнениями:

(3.1)

Движение точки в плоскости (рис. 17) задается двумя уравнениями:

(3.2)

Системы уравнений (1) или (2) называют законом движения точки в координатной форме.

рис.17

 

Ниже рассматривается движение точки в плоскости, поэтому используется только система (2).

Если закон движения точки задан в координатной форме, то

A). траектория плоского движения точки выражается уравнением

,

которое образуется из данных уравнений движения после исключения времени ;

B). числовое значение скорости точки находится из формулы

после предварительного определения проекции (см. рис. 17) скорости на оси координат

и

C). числовое значение ускорения находится из формулы

после предварительного определения проекций ускорения на оси координат

и ;

Направления скорости и ускорения относительно осей координат определяются из тригонометрических соотношений между векторами скорости или ускорения и их проекциями.

Используя уравнения движения точки в координатной форме, можно определить радиус кривизны траектории движущейся точки без непосредственного исследования уравнения траектории. Этот способ основан на том, что радиус кривизны траектории движущейся точки входит в формулу

выражающую числовое значение нормального ускорения.

Отсюда

. (а)

Скорость точки определяется по формуле

. (б)

Следовательно,

. (б’)

Числовое значение нормального ускорения входит в выражение полного ускорения точки

,

откуда

, (в)

где квадрат полного ускорения

(г)

и касательное ускорение

. (д)

 

 

Расчетно-графическое задание №3.

Определение кинематических параметров для материальной точки, движущейся криволинейно.

Задание

Определение скорости и ускоренна точки по заданным уравнениям ее движения По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t= t ₁ (сек) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке.

Необходимые для решения данные приведены в табл.1.

 

Пример выполнения задания

Исходные данные в см и сек:

} (1)

t ₁ =

Решение

Уравнения движения (1) являются параметрическими уравнениями траектории точки М. Чтобы получить уравнение траектории в обычной координатной форме, исключим время t из уравнений движения.

Тогда

у = х ² - 1. (2)

Это выражение есть уравнение параболы.

Для определения скорости точки находим проекции скорости на оси координат:

u_x = = 4 см/сек;

u_y = = 32 t см/сек.

Модуль скорости точки

u = . (3)

Аналогично проекции ускорения точки

w_x = = 0; w_y = = 32 см/сек².

Модуль ускорения точки

w = = 32 см/сек².

Координаты точки, а также ее скорость, ускорение и их проекции на координатные оси для заданного момента времени t = 1/2 сек приведены в табл.2.

Таблица 2

Координаты, См	Скорость, см/сек	Ускорение, см/сек2	Радиус кривизны, см
x	Y	ux	uy	u	wx	wy	wn	wt	w	r
				16,5			7,94			34,3

 

Касательное ускорение находим путем дифференцирования модуля скорости (З):

w_t = ;

= = .

При t = 1/2 сек

= = 31 см/сек²

Следовательно, модуль касательного ускорения

w_t = 31 см/сек ².

Знак «+» при показывает, что движение точки ускоренное и, следовательно, направления и совпадают.

Нормальное ускорение точки в данный момент времени

w_n = = = 7,94 см/сек ²

Радиус кривизны траектории в той точке, где при t = 1/2 сек находится в точке М,

r = = = 34,3 см.

Полученные значения w_t и w_n и r также приведены в таблице.

Пользуясь уравнением (2), вычерчиваем траекторию (рис.1) и показываем на ней положение точки М в заданный момент времени. Вектор строим по составляющим и , причем этот вектор должен быть направлен по касательной к траектории точки. Вектор находим как по составляющим и , так и по и , чем контролируется правильность вычислений.

Рис.1

Таблица 1

Номер варианта	Уравнения движения	t 1, сек
x = x(t) см	y = y(t) см
	—2 t 2+3	— 5 t	½
	4 cos2 t + 2	4 sin2 t
	-cos t 2 + 3	sin t 2 - 1
	4 t + 4	-
	2sin t	— 3 cos t + 4
	3 t 2 + 2	—4 t	½
	Зt2 - t + 1	5 t 2 - t - 2
	7 sin t 2 + 3	2 — 7 cos t 2
	-	3 t + 6
	— 4 cos t	—2sin t — 3
	— 4 t 2 + 1	- 3 t	½
	5 sin2 t	— 5 cos2 t— 3
	5 cos t 2	— 5 sin t 2
	-2 t - 2
	4cos t	—3sin t
	3t	4 t 2 + 1	½
	7 sin2 t — 5	— 7 cos2 t
	1 + 3 cos t 2	3 sin t 2 + 3
	— 5t2 — 4	3 t
	2 — 3 t — 6 t2	3 - t - 3 t 2
	6 sin t 2 — 2	6 cos t 2 + 3
22.	7 t 2—3	5 t
	3 — 3 t 2 + t	4 - 5 t 2 + t
	— 4 cos t — 1	— 4 sin t
	—6 t	— 2 t 2 — 4
	8 cos2 t + 2	— 8 sin2 t — 7
	— 3 - 9 sin t 2	—9cos t 2 + 5
	— 4 t 2 + 1	—З t
	5 t 2 + t - 3	3 t 2 + t + 3
	2 cos t 2 — 2	- 2 sin t 2 + 3

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механики. Под ред. проф. А.А. Яблонского. Учеб. пособие для втузов. М., «Высшая школа», 1972.- 432 с.
2. Бать М. И. И др. Теоретическая механика в примерах и задачах. М., «Политехника», 1995. – 670 с.
3. Мещерский И. В. Задачи по теоретической механики. М.: «Лань», 2001.- 448 с.
4. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики: Учебник для втузов. – 12 изд., стер. – М.: Высшая школа, 2002. – 416 с.
5. Федута А. А., Чигарёв А. В., Чигарёв Ю. В. Теоретическая механика и методы математики: - Уч. пособие, - Минск.: УП «Технопринт», 2000. – 504 с.
6. Яблонский А. А., Никифорова В. А. Курс теоретической механики. М.: «Лань», 2001. – 768 с.
7. Цывильский В. Л. Теоретическая механика. М., «Высшая школа» 2001. – 319 с.

 

 

Игорь Павлович Карначев

⇐ Предыдущая123

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: