 |
Пример 3.4 выполнения задания
|
|
|
|
Вычисление определённых интегралов
Для вычисления значений определённых интегралов существует множество методов. Рассмотрим три из них – метод прямоугольников, метод трапеций и метод парабол (метод Симпсона) на примерах при следующей постановке задачи. Составить фрагмент программы для вычисления приближенного значения определённого интеграла
при заданных подынтегральной функции f(x), пределах интегрирования a и b и числе N разбиений интервала на подынтервалы. При этом шаг изменения аргумента Δx следует найти по формуле Δx=(b-a)/N.
Суть этих методов – в накоплении, с учетом знаков, сумм площадей прямоугольников, трапеций или параболических трапеций, заменяющих на каждом подынтервале в общем случае криволинейную трапецию. Для метода прямоугольников высоты таких прямоугольников следует вычислять как значение функции в серединах (или на границах) подынтервалов, для метода трапеций высоты сторон трапеций – как значения функции на границах подынтервала, а для метода Симпсона используются значения функций и на границах и в серединах подынтервалов. Соответствующие формулы в общем виде и фрагменты программ вычисления интегралов для подынтегральной функции sin x приведены в рассмотренных ниже примерах.
Пример 1. Использование метода прямоугольников с вычислением высот прямоугольников в серединах подынтервалов.
В этом методе формула приближенного значения определённого интеграла представляется в виде
Для уменьшения объёма вычислений множитель Δx следует вынести за знак суммы:
, а для вычисления текущих значений центров xi подынтервалов будем использовать приём накопления суммы.
z:=0;
dx:=(b-a)/N;
|
|
|
x:=a+dx/2;//Середина первого подынтервала
for i:=1 to N do
begin
z:=z+Sin(x);
x:=x+dx
end;
z:=z*dx;
Пример 2. Использование метода трапеций.
В этом методе формула приближенного значения определённого интеграла представляется в виде
Преобразование её к виду
позволяет исключить повторные вычисления высот трапеций на внутренних подынтервалах и таким образом сократить объём вычислений.
z:=(Sin(a)+Sin(b))/2;
dx:=(b-a)/N;
x:=a+dx;
for i:=1 to N-1 do
begin
z:=z+Sin(x);
x:=x+dx
end;
z:=z*dx;
Пример 3. Использование метода параболических трапеций (Симпсона).
В этом методе формула приближенного значения определённого интеграла представляется в виде
или, взяв N в 2 раза большим, то есть разбив весь интервал на четное количество участков, в 2 раза меньшей длины
.
Используем вторую формулу в следующем фрагменте программы.
ReadLn(a,b,N);
Integ:=Sin(a);
dx:=(b-a)/N;
for i:=1 to N div 2 do
begin
x:=a+2*i*dx;
Integ:=Integ+2*Sin(x)+4*Sin(x-dx);
end;
Integ:=(Integ-Sin(b))*dx/3;
WriteLn(Integ:10:5);
Itoch:=-(Cos(b)-Cos(a));
WriteLn(Itoch:10:5);
ReadLn;
Пример 3.4 выполнения задания
Составить программу вычисления приближенных значений определённого интеграла 
методом прямоугольников и методом Симпсона, а также точное его значение по первообразной 
. Вычислить также абсолютную и относительную ошибки для каждого приближенного метода. Пределы интегрирования a и b, а также число N подынтервалов задавать при вводе. Для метода Симпсона используем первую формулу из предыдущего примера.
program Project1;
{$APPTYPE CONSOLE}
uses
SysUtils;
var
A,B,Q,dX,dX2,X,Z,Z0:Extended;
i,N:Integer;
begin
Write('Введите A, B, Q и N: ');ReadLn(A,B,Q,N);
//МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
WriteLn('Метод прямоугольников при N = ',N);
Z:=0;
dX:=(B-A)/N;
X:=A+dX/2;
for i:=1 to N do
begin
Z:=Z+Exp(Q*X)*(Sqr(Q)*Cos(X)-2*Sin(X)*Q-Cos(X));
X:=X+dX
end;
Z:=Z*dX;
WriteLn(Z,' - приближенное значение интеграла');
Z0:=Exp(Q*B)*(Q*Cos(B)-Sin(B))-Exp(Q*A)*(Q*Cos(A)-Sin(A));
WriteLn(Z0,' - точное значение интеграла');
WriteLn(Abs(Z0-Z),' - абсолютная ошибка');
WriteLn(Abs((Z0-Z)/Z0),' - отностиельная ошибка');
WriteLn;
//МЕТОД ПАРАБОЛ
|
|
|
WriteLn('Метод Симпсона при N = ',N);
dX:=(B-A)/N;
dX2:=dX/2;
Z:=(Exp(Q*A)*(Sqr(Q)*Cos(A)-2*Sin(A)*Q-Cos(A))
+Exp(Q*B)*(Sqr(Q)*Cos(B)-2*Sin(B)*Q-Cos(B)))/2
+2*Exp(Q*(B-dX2))
*(Sqr(Q)*Cos(B-dX2)-2*Sin(B-dX2)*Q-Cos(B-dX2));
X:=A+dX;
for i:=1 to N-1 do
begin
Z:=Z+Exp(Q*X)*(Sqr(Q)*Cos(X)-2*Sin(X)*Q-Cos(X))
+2*Exp(Q*(X-dX2))
*(Sqr(Q)*Cos(X-dX2)-2*Sin(X-dX2)*Q-Cos(X-dX2));
X:=X+dX
end;
Z:=Z*dX/3;
WriteLn(Z,' - приближенное значение интеграла');
Z0:=Exp(Q*B)*(Q*Cos(B)-Sin(B))-Exp(Q*A)*(Q*Cos(A)-Sin(A));
WriteLn(Z0,' - точное значение интеграла');
WriteLn(Abs(Z0-Z),' - абсолютная ошибка');
WriteLn(Abs((Z0-Z)/Z0),' - отностиельная ошибка');
ReadLn;
end.
|
|
|
