 |
Логическое отрицание (инверсия)
|
|
|
|
Логика, как наука.
Познание истины, получение истинной информации - одна из важнейших потребностей человека. Все люди нуждаются в истинном знании, получении новой верной информации о мире, в котором они живут. Для чего? Такой вопрос иногда возникает. Нужна ли истина только физикам и математикам? Нет!
Для того чтобы жить, т.е. ориентироваться в быстро меняющейся обстановке, принимать правильные решения и на их основе совершать правильные действия.
Человек с древних времен стремился познать законы правильного мышления, то есть логические законы. Наука логика помогает познанию этих законов. Законы развития есть у природы, общества, любой сложной системы и, конечно же, у самого мышления. Мы можем не осознавать их, но нужно всегда следовать им, чтобы жить в обществе, общаться с людьми, понимать их и быть понятыми.
В Древней Греции, в Древней Индии, в Древнем Риме законы и формы правильного мышления изучались в рамках ораторского искусства. Применение логических приёмов рассуждения позволяло ораторам более убедительно доносить до аудитории свою точку зрения, склонять её на свою сторону. Однако уже тогда возникли и попытки использования приёмов рассуждения, нарушающих логические законы, чтобы добиться победы в споре. Всегда ли такие приемы приводят в неверным выводам?
Логика - одна из древнейших наук. Ее основателем считается величайший древнегреческий философ Аристотель, который первым систематизировал формы и правила мышления, обстоятельно исследовал категории "понятие" и "суждение", подробно разработал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления.
|
|
|
Античную логику, основанную Аристотелем, принято называть формальной. Это название происходит от основного принципа такой логики как науки, который гласит, что правильность рассуждения определяется только его логической формой или структурой и не зависит от конкретного содержания входящих в него высказываний. В современной логике этот принцип не всегда выдерживается.
Логической формой высказывания (суждения) является строение этого высказывания, способ связи его составных частей.
НАПРИМЕР. Попробуйте определить логическую форму следующих высказываний:
“Все лошади едят овёс”
“Все реки впадают в море”
“Все школьники - отличники”
“Все книги имеют страницы”
“Все планеты вращаются вокруг звезд”
ИЗ ИСТОРИИ ЛОГИКИ
Вклад в развитие логики внесли: Р.Декарт (фр. 1596 - 1650), Г.В.Лейбниц (нем. 1646 - 1716), М.В.Ломоносов (1711 - 1765), И.Кант (нем.1724-1804), А.де Морган (англ.1806-1871), Дж. Буль (англ. 1815-1864), Г.Фреге (амер.1848-1925), А.А.Марков (1903 - 1979) и многие другие ученые.
В своем развитии логика прошла ряд этапов. Современную логику часто называют символической или математической логикой. У истоков современной логики стоит Г.Лейбниц, выдвинувший идею представить логическое доказательство как вычисление, подобное вычислению в математике. Он же обосновал необходимость создания универсального логического языка, который в отличие от естественного языка мог бы точно и однозначно выражать различные понятия и отношения, быть своего рода алгеброй человеческого мышления, позволяющей получать из уже известных истин новые истины путем точных вычислений.
Итак, предметом исследования науки логики является человеческое мышление. Мышление всегда осуществляется в каких-то формах. В логике выделяют следующие формы мышления: понятие, суждение, умозаключение.
Например: "апельсин", "трапеция", “белизна”, "река Нил", "ураганный ветер", "студент медицинского института" - это понятия.
|
|
|
Понятие - форма мышления, в которой отражаются существенные отличительные признаки предметов.
Существенными называются такие признаки, каждый из которых, взятый отдельно, необходим, а все вместе взятые достаточны, чтобы с их помощью отличить (выделить) данный предмет (явление) от всех остальных и обобщить однородные предметы в множество.
Высказывание (суждение, утверждение) - форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах, или отношениях.
НАПРИМЕР, “Этот апельсин вкусный”, “Если прошел дождь, то на улице весна”, “На Луне живут лунатики, а на Марсе марсиане”.
Высказывание выражается в форме повествовательного предложения. Высказывания бывают простыми и сложными. Например, "наступила весна" - простое высказывание, а высказывание "наступила весна и прилетели грачи" - сложное, состоящее из двух простых. Всякое высказывание, может быть либо истинным, либо ложным по своему содержанию.
Содержание высказывания - это то, о чем идет речь в этом высказывании, его смысл. Одно и то же высказывание для разных людей может восприниматься как истинное или ложное в зависимости от взглядов, жизненного опыта, особенностей национальной культуры, воспитания, образования и т.д.
НАПРИМЕР, для кого-то истинным является, что “Свободу, безопасность, комфорт дают глубокие знания”, а для кого-то - “Свободу, безопасность и комфорт дают большие деньги”.
Умозаключение - форма мышления, посредством которой из одного или нескольких высказываний, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем заключение.
Еще в древности было известно рассуждение, ставшее классическим образцом верного логического умозаключения.
"Все люди смертны. Сократ - человек. Следовательно, Сократ смертен."
Алгебра высказываний.
Идею о возможности математизации логики высказал еще в XVII веке Г.В.Лейбниц. Он пытался создать универсальный язык, с помощью которого каждому понятию и высказыванию можно было бы дать числовую характеристику и установить такие правила оперирования с этими числами, которые позволили бы сразу определить, истинно данное высказывание или ложно. То есть споры между людьми можно было бы разрешать посредством вычислений. Идея Лейбница оказалось ложной, так как невозможно (не найдены способы) свести человеческое мышление к некоторому математическому исчислению.
|
|
|
Однако, подлинный прогресс этой науки был достигнут в середине XIX века прежде всего благодаря трудам Дж.Буля "Математический анализ логики". Он перенес на логику законы и правила алгебраических действий, ввёл логические операции, предложил способ записи высказываний в символической форме.
Современная математизированная формальная логика представляет собой обширную научную область, которая находит широкое применение как внутри математики (исследование оснований математики), так и вне ее (синтез и анализ автоматических устройств, теоретическая кибернетика, в частности, искусственный интеллект).
Алгебра логики (алгебра высказываний) - раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.
Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно.
Обозначать высказывания будем большими буквами. Если высказывание А истинное, то будем писать "А = 1" и говорить: "А - истинно". Если высказывание Х ложно, то будем писать "Х = 0" и говорить "Х ложно".
ПРИМЕРЫ
А = "Солнце светит для всех." = 1 - истинное высказывание
В = "Все ученики любят информатику" = 0 - ложное высказывание
С = "Некоторые из учеников любят информатику." = 1
Д = "А ты любишь информатику?" - не высказывание, т.к. не является повествовательным предложением
Е = "Посмотри в окно." – не высказывание, т.к. является побудительным предложением
Ж = "Х * Х < 0" = 0 – ложное высказывание, т.к. какое бы Х мы не взяли произведение Х*Х будет неотрицательным
З = "2 * Х - 5 > 0" – не высказывание, т.к. для некоторых значений Х это выражение будет верным, а для других - нет.
|
|
|
И = "Крокодилы летают очень низко" – высказывание.
Последний пример показывает, что высказывания не обязательно должны быть истинными с точки зрения здравого смысла. Вопрос о том, летают или не летают крокодилы, могут волновать зоологов, но никак не логиков, так как им этот потрясающий факт безразличен. Логическая наука интересуется весьма своеобразно понимаемой истинностью или ложностью высказываний: под логическим высказыванием понимается определенное утверждение, которое может быть доказано или опровергнуто.
В алгебре логики над высказываниями можно производить различные операции (как и в алгебре действительных чисел определены операции сложения, деления, возведения в степень над числами). Мы рассмотрим только некоторые, наиболее важные из них.
Логические операции
ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ (ИНВЕРСИЯ)
Образуется из простого высказывания с помощью добавления частицы НЕ к сказуемому или использованием оборота речи "НЕВЕРНО, ЧТО...".
| А | Значение А | инверсия А | Значение не А |
| У меня есть приставка "DENDY" | У меня нет приставки "DENDY" | ||
| Я не знаю китайский язык | Неверно, что я не знаю китайский язык (я знаю китайский язык) |
Инверсия обозначается: не А; А; not A, Ā
Нас интересует значение истинности высказывания формы не А (а не его содержание). Определяется оно по специальной таблице истинности, которая для операции инверсии выглядит так:
| А | Ā | Читается |
| если А ложно, то не А истинно | ||
| если А истинно, но не А ложно |
Мнемоническое правило: слово “инверсия” (от лат. inversio - переворачивание) означает, что белое меняется на черное, добро на зло, красивое на безобразное, истина на ложь, ложь на истину, ноль на один, один на ноль.
Примечание 1. Логики предпочитают иметь дело с выражениями “неверно, что”, поскольку тем самым подчеркивается отрицание всего высказывания.
Примечание 2. Дважды или четырежды отрицавшееся высказывание имеет то же самое значение истинности, что и соответствующие не отрицавшееся высказывание, трижды отрицавшееся – что и отрицавшееся один раз.
ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ (КОНЪЮНКЦИЯ)
Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза "И".
П РИМЕРЫ: Допустим, из моего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины: “Мерседес” и “Жигули”, но может находиться и какая-то одна из них, или не быть ни одной. Обозначим высказывания:
А = На автостоянке стоит "Мерседес"
В = На автостоянке стоят "Жигули"
А конъюнкция В = На автостоянке стоят "Мерседес" и "Жигули"
|
|
|
Операция конъюнкции обозначается: Λ; &; *; and; и.
| А | B | A Λ B | Пояснение | Стоят “Мерседес” и “Жигули” |
| “Мерседес” не стоит, “Жигули” не стоят | ЛОЖЬ | |||
| “Мерседес” не стоит, “Жигули” стоят | ЛОЖЬ | |||
| “Мерседес” стоит, “Жигули” не стоят | ЛОЖЬ | |||
| “Мерседес” стоит, “Жигули” стоят | ИСТИНА |
Из таблицы истинности следует, что операция конъюнкции истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно. Иногда это свойство принимают за определение операции логического умножения.
Мнемоническое правило: конъюнкция - это логическое умножение, и мы не сомневаемся, что Вы заметили:
0 * 0 = 0,
0 * 1= 0,
1 * 0 = 0,
1 * 1 = 1.
Таблица истинности
| А | B | A Λ B |
Пересечение множеств
А - множество отличников в классе
В - множество спортсменов в классе
А Λ В - множество отличников, занимающихся спортом
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ (ДИЗЪЮНКЦИЯ)
Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза ИЛИ.
Примеры
Завтра дождь будет или не будет (третьего не дано).
Петя сидит на западной или восточной трибуне стадиона.
Студент едет в электричке или читает книгу.
Обозначается:
А или В; А OR В; А | В; А V В
ПРИМЕРЫ: Допустим, из моего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины: “Мерседес” и “Жигули”, но может находиться и какая-то одна из них, или не быть ни одной. Обозначим высказывания:
А = На автостоянке стоит "Мерседес"
В = На автостоянке стоят "Жигули"
А дизъюнкция В = На автостоянке стоят "Мерседес" или "Жигули"
| А | B | A V B | Пояснение | Стоят “Мерседес” или “Жигули” |
| “Мерседес” не стоит, “Жигули” не стоят | ЛОЖЬ | |||
| “Мерседес” не стоит, “Жигули” стоят | ИСТИНА | |||
| “Мерседес” стоит, “Жигули” не стоят | ИСТИНА | |||
| “Мерседес” стоит, “Жигули” стоят | ИСТИНА |
Из таблицы истинности следует, что операция дизъюнкции ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно. Иногда это свойство принимают за определение операции логического умножения.
Мнемоническое правило: дизъюнкция - это логическое сложение, и мы не сомневаемся, что Вы заметили:
0 + 0 = 0,
0 + 1= 1,
1 + 0 = 1,
но в логике: 1 V 1 = 1.
Таблица истинности
| А | B | A V B |
Объединение множеств
А - множество отличников в классе
В - множество спортсменов в классе
A V B - множество учеников класса, которые являются отличниками или спортсменами
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ (ИМПЛИКАЦИЯ)
Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи "ЕСЛИ..., ТО... "
ПРИМЕРЫ
Если клятва дана, то она должна выполняться.
Если число делится на 9, то оно делится на 3.
Исторически операция импликации была введена для полноты системы логических функций двух переменных, поэтому в логике допустимо (принято, договорились) рассматривать и бессмысленные с житейской точки зрения высказывания. Приведем примеры, которые не только правомерно рассматривать в логике, но при этом значение их истинно.
Если коровы летают, то 2 + 2 = 5
Если я - Наполеон, то у кошки четыре ноги.
Импликация обозначается: А → В
Говорят: "Если А, то В", "А имплицирует В", "А влечет В", "В следует из А".
| А | B | А → В | Пояснение | “Если идет дождь, то асфальт мокрый” |
| дождя нет, асфальт сухой | ИСТИНА | |||
| дождя нет, асфальт мокрый | ИСТИНА | |||
| дождь идёт, асфальт сухой | ЛОЖЬ | |||
| дождь идёт, асфальт мокрый | ИСТИНА |
Из таблицы истинности видно, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (истинная предпосылка ведет к ложному выводу). Иногда это свойство принимают за определение операции импликации.
ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО (ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ)
Образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи "... ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА...".
ПРИМЕРЫ
“Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 90 градусов”
“Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются”
“Любая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения тогда и только тогда, когда внешнее воздействие не изменит этого состояния” (Первый закон Ньютона).
“Голова думает тогда и только тогда, когда язык отдыхает” (Шутка)
Все законы математики, физики, все определения - суть эквивалентность высказываний.
Эквивалентность обозначается: А = В; А ~ В, А ↔ В
ПРИМЕР. Пусть даны два высказывания:
А = “Число делится на 3 без остатка (кратно трём)”
В = “Сумма цифр числа делится нацело на 3".
А эквивалентно В = "Число делится на 3 без остатка тогда и только тогда, когда сумма цифр данного числа делится нацело на 3".
| А | B | А ~ В | Пояснение | “Число кратно трём тогда и только тогда, когда сумма цифр кратна трём” |
| число не кратно трём, сумма цифр не кратна трём | ИСТИНА | |||
| число не кратно трём, сумма цифр кратна трём | ЛОЖЬ | |||
| число кратно трём, сумма цифр не кратна трём | ЛОЖЬ | |||
| число кратно трём, сумма цифр кратна трём | ИСТИНА |
Из таблицы истинности следует, что эквивалентность двух высказываний истинна, тогда и только тогда, когда оба эти высказывания истинны, или оба ложны. Иногда это свойство принимается за определение операции эквивалентности.
СЛОЖНОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ
Если несколько простых высказываний объединены в одно с помощью логических операций, то такое высказывание называется сложным.
| Сложное высказывание | Составляющие простые высказывания | Форма сложного высказывания |
| Е = Идёт дождь, а у меня нет зонта | А = Идёт дождь В = У меня есть зонт | Е = А Λ неВ |
| Е = Когда живётся весело, то и работа спорится | А = Живётся весело В = Работа спорится | Е = А → В |
| Е = Идёт налево - песнь заводит, направо - сказку говорит | А = Идёт налево В = Идёт направо С = Песнь заводит D = Сказку говорит | E=(A → C)V(B →D) |
Мы всегда исходим из того, что для любого простого высказывания определено (известно), является ли оно истинным или ложным. По форме сложного высказывания и по таблицам истинности входящих в него логических операций всегда можно определить, истинное оно или ложное.
Реальную задачу, как правило, мы получаем в виде текста на естественном языке. И прежде, чем приступить к ее решению, мы должны выделить простые высказывания, отношения (связи) между ними и перевести их на язык формул (формализовать условие задачи, определить форму). Разберём примеры формализации сложных высказываний.
|
|
|
