Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Уравнение вида y'+ ρ(x) y=f (x), где ρ(x) и f (x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Пример. Найти общее решение уравнения y'+ 3 y=e ^{2 x} и частное решение,удовлетворяющее начальным условиям х =0, у =1.
Решение. Данное уравнение является линейным.
Здесь ρ(x)=3 и f (x)= e ^{2 x} .
Решение ищем в виде y=U ∙υ, где U и υ – некоторые функции от х. Находим y'= U' υ+ U υ ' и подставляем в уравнение значение y и y', получаем: U' υ +U υ ' +3 U υ= e ^{2 x} или U' υ +U (υ ' +3υ)= e ^{2 x} .
Найдем одно значение υ, при котором выражение в скобках, обращается в нуль: υ ' +3υ=0. Получим уравнение с разделяющимися переменными. Решая его получаем: ln υ =–3 x,υ= e ^{–3 x} .
Подставляем найденное значение υ в исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
.
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:
.
Найдем частное решение. Для этого подставим начальные условия в выражение для общего решения и найдем С.
.
Частное решение имеет вид: .

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида y''+ ρ y'+qy=f (x), где ρ и q – вещественные числа, f (x) – непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида:
y''+ ρ y'+qy =0, (1)
у которого правая часть f (x) равна нулю. Такое уравнение называется однородным.
Уравнение
K ² + ρ K+q =0 (2)
называется характеристическим уравнением данного уравнения (1).
Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через К ₁ и К ₂.
Общее решение уравнения (1) может быть записано в зависимости от величины дискриминанта D =ρ²–4 q уравнения (2) следующим образом:
1. При D >0 корни характеристического уравнения вещественные и различные (К ₁≠ К ₂), и общее решение имеет вид .
2. При D =0 корни характеристического уравнения вещественные и равные (К ₁= К ₂= К), и общее решение имеет вид:
3. Если D <0, то корни характеристического уравнения комплексные: , где – мнимая единица, и общее решение (К ₁=α+β i, К ₂=α–β i, β≠0), имеет вид y = e ^{α x} (C ₁ cosβ x + C ₂ sinβ x).
Пример 1. Найти общее уравнение y''–y' –2 y =0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид K ² –K –2=0, его корни К ₁=1, К ₂=–2 вещественные и различные. Общее решение уравнения имеет вид y = C ₁ e^x + C ₂ e ^{–2 x} .
Пример 2. Найти общее решение уравнения y'' –2 y' + y =0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К ²–2 К +1=0, его корни К ₁ = К ₂=1 – вещественные и равные. Общее решение уравнения имеет вид y = e^x (C ₁+ C ₂ x).
Пример 3. Найти общее решение уравнения y'' –4 y' +13 y =0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К ²–4 К +13=0, его корни К ₁=2+3 i, К ₂=2–3 i комплексные. Общее решение уравнения имеет вид y = e ^{2 x} (C ₁ cos3 x + C ₂sin3 x).
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение второго порядка:
y''+ ρ x+qy = f (x), (3)
где f (x) – непрерывная функция, отличная от нуля.
Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения (3) и общего решения y_о соответствующего однородного уравнения (1):
.
Поскольку нахождение общего решения однородного уравнения мы уже рассмотрели, то остаются рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (3).
1) Пусть правая часть имеет вид f (x)= e ^{α x} P_n (x), где P_n (x) – многочлен степени n. Тогда частное решение ищем в виде , где Q_n (x) – многочлен той же степени, что и P_n (x), а r – число, показывающее, сколько раз α является корнем характеристического уравнения.
Пример 4. Найти общее решение уравнения y'' –2 y'+y = x ²+1.
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид y_o = e^x (C ₁+ C ₂ x)(см. пример 2). Так как правая часть уравнения является многочленом второй степени и ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю (К ₁= К ₂=1), то частное решение ищем в виде , где А, В, С – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды =Ax ² +Bx+C и подставляя =Ax ² +Bx+C, , в данное уравнение находим 2 A– 4 Ax– 2 B+Ax ² +Bx+C=x ² + 1, или Ax ² + (B– 4 A) x+ 2 A– 2 B+C=x ² + 1.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, имеем А =1, В -4 А =0, 2 А -2 В + С =1, Находим А =1, В =4, С =7. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а общее решение - .
Пример 5. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
.
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид y _o = C ₁ e^x + C ₂ e ^{–2 x} (см. пример 1). В правой части данного уравнения стоит произведение многочлена нулевой степени на показательную функцию e ^{α x} при α=2. Так как среди корней характеристического уравнения нет корней, равных 2, то частное решение данного уравнения ищем в виде =A ∙ e ^{2 x} .
Дифференцируя и подставляя в уравнение получаем:
и , откуда , .
Подставляя найденное значение А в выражение для , найдем частное решение данного уравнения и общее решение запишется в виде . Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям. Для этого продифференцируем у. .
Подставляем начальные условия в у и у', находим С ₁ и С ₂:

.
Подставляя найденное значение С ₁ и С ₂ в выражение для у, найдем частное решение данного уравнения
.
2) Пусть правая часть имеет вид и α+β i, (α–β i) не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение ищем в виде .
Если же α+β i, (α–β i) является корнем характеристического уравнения, то частное решение находим в виде .
Пример 6. Найти общее решение уравнения .
Решение. Здесь характеристическое уравнение К ²+1=0 имеет корни К ₁= i, К ₂=- i. Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет y = C ₁cos x + C ₂sin x. В правой части стоит тригонометрическое функция то есть a =0, b =1, β=2. Так как β=2 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде: .
Дифференцируя и подставляя его в дифференциальное уравнение, получим , откуда , т.е. частное решение , а общее решение уравнения: .

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Какое уравнение называется дифференциальным? Что называется порядком дифференциального уравнения? Приведите примеры.
2. Что называется решением дифференциального уравнения? Приведите примеры.
3. Какое решение дифференциального уравнения называется общим и какое – частным? Каков их геометрический смысл?
4. Каков геометрический смысл начальных условий дифференциального уравнения первого порядка? Как из общего решения дифференциального уравнения первого порядка можно получить его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условия?
5. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными и как оно интегрируется? Приведите примеры.
6. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным и как оно интегрируется? Приведите примеры.
7. Каков геометрический смысл начальных условий для дифференциального уравнения второго порядка?
8. Какое дифференциальное уравнение второго порядка называется линей ным? В каких случаях оно называется однородным и неоднородным?
9. Каковы свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка? Какова структура его общего решения?
10. Какова структура решений неоднородного дифференциального уравнения?
11. Какова зависимость решения от вида правой части?

Назад