Интегрирование по параметру

Глава 7

Собственные интегралы (Римана), зависящие от параметра

Пусть f(x,y) – функция двух переменных, определённая на прямоугольнике

Если для любого существует интеграл, то этот интеграл является функцией от переменной y (которая и называется здесь параметром):

Таким образом, мы получаем новый способ задания функции – в виде интеграла, зависящего от параметра, т.е. определяемые т.о. функции часто используют в математических рассуждениях и приложениях.

Следует иметь ввиду, что

 

 

 

Пример 1. Рассмотрим функцию

 

В этом примере интеграл легко вычислить:

Значит, можно задать и обычным способом:

Однако часто встречаются интегралы, которые не выражаются через элементарные функции. Тогда приходится работать с функцией, заданной в виде интеграла с параметром. Значит, нужно научиться работать с такими функциями – в частности, знать правила их дифференцирования и интегрирования.

Возможна и более сложная ситуация, когда от параметра зависит не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования:

Основные теоремы

Предельный переход под знаком интеграла

Теорема 1 ( о непрерывности интеграла с параметром ).

Если функция f(x,y) непрерывна на прямоугольнике то

функция непрерывна на отрезке

Доказательство. По теореме Кантора, непрерывная на компактном множестве ∆ функция является равномерно непрерывной, т.е.

 

 

Возьмём Тогда из равномерной непрерывности следует:

 

Оценим теперь приращение функции I (y):

 

Итак, что и означает непрерывность функции I (y).

 

Замечание. В теореме 1 требуется, чтобы f (x,y) была непрерывной по обеим переменным в совокупности, т.е. чтобы

 

Недостаточно, чтобы f (x,y) была непрерывной по каждой из переменных. Например, функция

 

 

непрерывна по x (при любом фиксированном y), и непрерывна по y (при любом фиксированном x). Однако она не является непрерывной в точке (0,0) функцией (по совокупности переменных): предел не

существует. В данном случае не справедлив и вывод теоремы 1; например, функция

разрывна в точке y = 0.

Так как непрерывность в точке I (y) означает, по определению, что

в любой точке y ₀, то непосредственно из теоремы 1

вытекает

Теорема 2 ( о предельном переходе под знаком интеграла ).

Если f (x,y) непрерывна на то для любого

 

Если – непрерывные функции, а f (x, y) непрерывна на множестве

то можно доказать, что

 

Это утверждение усиливает теоремы 1 и 2.

Ещё одно усиление теорем 1,2 связано с заменой требования непрерывности f (x, y) более слабым условием.

Теорема 3. Если f (x, y) непрерывна по x (при любом фиксированном y) и f (x, y) равномерно сходится к функции g (x) при y → y ₀, то

 

 

Равномерная сходимость: означает:

 

Доказательство. просто – оно проводится с помощью той же оценки, что и доказательство теоремы 1.

Теорема 3 справедлива также в случае y → ∞, лишь определение равномерной сходимости имеет другой вид:

 

 

Пример 2. Вычислить.

Решение. Так как функция непрерывны при любых

x, y, то возможен предельный переход под знаком интеграла:

 

 

Пример 3. Вычислить.

 

Решение. Подынтегральная функция непрерывна при любых x, y и y →∞ стремится к g (x)= x:

 

 

Эта система равномерная, так как

,

 

если только. Значит, возможен переход к пределу под

знаком интеграла:

.

 

Дифференцирование по параметру

Дифференцируемость интеграла зависящего от параметра (Правило Лейбница)

Пусть для интеграла , в котором подынтегральная функция зависит от некоторого параметра «у» будет меняться, то будет меняться и значение определенного интеграла.

Т.о. определенный интеграл есть функция от «у» поэтому мы его можем обозначить через

Теорема 4. Предположим, что и ,

Доказательство

Найдем производную интеграла по параметру «у». Для и приращение таких, что

. Тогда производная

Заметим, что

Поделим обе части последнего равенства на «»

Применяя теорему Лагранжа к подынтегральной функции, будем иметь:

, где

Т.к.

Осталось доказать, что можно перейти к пределу под знаком интеграла. Чтобы воспользоваться теоремой 3, докажем, что ( - замкнутая область)

, где зависит от стремится к нулю при

Т.о.

Переходя к пределу при получаем:

Или

Эта формула называется формулой Лейбница.

(Замечание: Подынтегральная функция в интеграле стремится к нулю при . Из того, что подынтегральная функция в каждой (.) стремится к нулю, не всегда следует, что интеграл также стремится к нулю. Однако в данном случае при . Этот факт мы принимаем без доказательства.)

Пример 4. Найти производную функции в точке y = 2.

Решение. Можно, вычислив интеграл, найти явное выражение для функции I (y), а затем продифференцировать. Проще, однако, применить теорему 4:

 

 

При и значениях y, близких к 2, функция и её частная

производная, очевидно, непрерывны.

 

Пример 5. Вычислить

Решение. Найдём производную интеграла по параметру. Легко проверить, что требования теоремы 4 соблюдены, поэтому

Применим подстановку t = tg x. Тогда

 

 

 

Теперь, вычисляя интеграл, получим:

 

 

Константу C найти легко, так как

 

.

.

 

Научимся теперь вычислять производные в случае, если от параметра зависит не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования.

 

Теорема 5.

 

 

 

Доказательство. Возьмём произвольную точку и воспользуемся аддитивностью интеграла:

 

Найдём производную 3-го слагаемого по определению:

 

 

 

Мы воспользовались теоремой о среднем для определённого интеграла, а затем – непрерывностью f (x, y) и дифференцируемостью β (y). В точности так же вычисляется и производная 1-го слагаемого:

 

.

 

Производная 2-го слагаемого вычисляется по теореме 4:

 

.

 

Складывая все 3 слагаемые, получим требуемую формулу.

Пример 6. Найти производную функции.

 

Решение. Здесь требуется дифференцировать интеграл по параметру x. Действуем по формуле теоремы 5:

 

 

.

 

Интегрирование по параметру

Теорема 7. Пусть функция f (x, y) непрерывна в прямоугольнике

 

Рассмотрим. Тогда

 

.

 

Или, что то же самое,

.

 

Доказательство. Докажем более общее соотношение. Пусть t – произвольная точка отрезка [ c, d ]. Докажем, что

. (*)

 

Найдем производную по t от каждой части этого равенства. Применяя теорему 5 (иди давно известную нам теорему об интеграле с переменным верхним пределом), получим:

 

В правой части равенства (*) – интеграл, зависящий от параметра t. Дифференцируем его, применяя теорему 4:

 

Одинаковые результаты говорят о том, что функции в левой и правой частях равенства (*) отличаются лишь на константу:

.

 

Это верно. В частности, при t = c получим: 0 = 0 + C, т.е.

С = 0, и равенство доказано. Если применить его при t = d, получим утверждение теоремы.

Теорема 7’. Пусть

Тогда

Доказательство

Заметим, что если , тогда интеграл в скобках – непрерывная функция на . Поэтому все интегралы в утверждении теоремы определены.

Для каждого положим , .

Поскольку то , . Функция ,

при непрерывна по «х» на , согласно теоремы 3 (о непрерывности I(y))

Для любой точки и . Поэтому согласно теоремы 4, для . Т.о. , . Причем . Следовательно .

Доказываемое равенство получим при .

 

Пример 7. Вычислить интеграл

Решение. Интегрирование в указанном порядке затруднительно:

 

 

Пользуясь теоремой 6, изменим порядок интегрирования.

.

 

 

Интеграл вычислен. Попутно получено соотношение:

.

 

Приведём пример, показывающий, что при нарушении непрерывности подинтегральной функции изменение порядка интегрирования может привести к другому результату.

 

 

Пример 8. Вычислим интеграл:

 

.

 

 

При вычислении в другом порядке можно заметить, что если сменить знак подинтегральной функции, то получится уже рассмотренный интеграл:

 

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: