Уравнения, решаемые домножением на некоторую функцию обеих частей.
Иррациональные уравнения Напомним, что иррациональными называются уравнения, в которых неизвестная величина содержится под знаком корня или в основании степени с рациональным показателем. Следует хорошо понимать, что: 1. Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими, т.е. подкоренное выражение определено только для неотрицательных значений, и сам корень принимает только неотрицательные значения; 2. Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения и в зависимости от знака подкоренного выражения могут принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения. К основным методам решения иррациональных уравнений относятся: Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень; Замена неизвестного; Домножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию; Применение свойств функций входящих в уравнение. Уравнения, решаемые возведением обеих частей уравнения в одну и ту же степень. При решении иррационального уравнения этим способом можно идти двумя путями: I путь 1. Найти область определения уравнения 2. Выполнить преобразования, приводящие данное уравнение к равносильному рациональному 3. Найти множество решений уравнения учетом области определения II путь 1. Выполнить преобразования данного уравнения, приводящие к уравнениям–следствиям 2. Найти корни уравнения–следствия 3. Выполнить проверку и записать ответ Примеры: (1)
Проверка: а) (верно), значит, - корень уравнения (1) б) (неверное равенство) Ответ: (2) Обратим внимание, что левая часть уравнения представляет собой сумму корней третьей степени.
При возведении в 3-ю степень левой части уравнения удобно воспользоваться формулой (если надо возвести в третью степень разность корней, то формулой ) Воспользовавшись формулой, получим , откуда (т.к. ) Разделив почленно это уравнение на 9 и возведя еще раз обе части равенства в 3-ю степень получим , , откуда и Ответ: ,
(3)
Возведем обе части уравнения (3) в 6-ю степень; Получим -единственный корень уравнения Ответ: .
Уравнения, решаемые с помощью учета свойств монотонности функции.
Рассмотрим уравнение (1)
Его область определения составляет луч (-3; +∞)
На этом множестве функция является монотонно возрастающей; значение равное 5, эта функция принимает не более, чем в одной точке. Очевидно, что - корень данного уравнения. Его единственность доказана выше. Аналогично решается уравнение . Его область определения есть R, в левой части стоит возрастающая функция, которая обращается в 0 при .
Уравнения, решаемые с помощью исследования области определения. Рассмотрим уравнения: (1) (2) Область определения уравнения (1) не содержит действительных чисел, значит, это уравнение не имеет корней. Область определения уравнения (2) находится из решения системы и составляет единственное число . Проверим, является ли корнем уравнения (2): (верно) значит, - корень уравнения Ответ: Уравнения, решаемые с помощью учета свойств ограниченности входящих функций. (1)
Заметим, что для Имеем
Из уравнения (2’) следует, что , и это значение удовлетворяет уравнению (1’) Значит – корень уравнения (5) Ответ: Уравнения, решаемые с помощью учета области определения и множества значений входящих в уравнение функции Решим уравнение: Область определения уравнения:
Если , то Итак, получили, что при функция имеет множество значений, не имеющих общих чисел с множеством значений функции Вывод: решений нет Ответ: Ø
Уравнения, решаемые домножением на некоторую функцию обеих частей. Рассмотрим уравнение (1) Умножим обе части уравнения на (при этом область определения данного уравнения не изменится) Тогда уравнение (1) будет равносильно системе
Числа 1 и 2 удовлетворяют уравнению (1), значит, являются его корнями. Ответ:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|