Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Теорема о дискретном равномерном представлении непрерывного сигнала




 

Математически процесс определения значения сигнала в указанной точке описывается следующим выражением

т.к. называемое фильтрующее свойство дельта-функции.

Аппаратно реализуется устройством выборки хранения (УВХ) аналого-цифрового преобразователя (АЦП).

 

 

Рисунок УВХ

Базовая операция для превращения непрерывного сигнала в дискретную форму - дискретизация.

Результатом процесса дискретизации является сигнал с амплитудно-импульсной модуляцией.

 

Рисунок Представление сигнала в дискретной форме – АИМ

 

Такое название возникло потому, что выходной сигнал УВХ можно описать как последовательность импульсов с амплитудами сигнала в момент выборок.

 

Исходный непрерывный сигнал можно восстановить из АИМ путем прохождения последнего через восстанавливающий фильтр, при определенных ограничениях, которые формулируются в теореме о равномерном дискретном представлении (теорема Шеннона-Котельникова, критерий Найквиста).

 

Сигнал с ограниченной полосой, не имеющий спектральных составляющих с частотами, которые превышают , однозначно определяется значениями, выбранными через равные промежутки времени

иначе

 

 

Это утверждение доказывается строго, но вначале его можно пояснить простым примером

 

Рисунок

Критерий выбора частоты дискретизации с учетом эффекта наложения

Практический критерий

 

 

Компактный \ некомпактный спектр.

 

Для любого ограниченного во времени сигнала, спектр неограничен (хотя может быть весьма мал выше ). Для исключения перекрытия спектров производится удаление спектральных составляющих сигнала (предварительная фильтрация сигнала) с частотой выше , т.е. процесс дискретизации всегда вносит некоторые искажения, величина которых определяется отношением .

 


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ДИСКРЕТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ (Столлингс)

Теорему о дискретном представлении можно сформулировать следующим образом. Если

x(t) — сигнал с ограниченной полосой fh,

p(t) — выборочный сигнал, состоящий из импульсов, взятых через интервал ,где — частота дискретизации,

xs(t) = x(t)p(t) — дискретный сигнал,

то сигнал x(t) можно восстановить непосредственно из сигнала xs(t) тогда и только тогда, когда fs>2fh.

 

Доказательство

Поскольку сигнал p(t) состоит из равномерной последовательности импульсов, то он является периодическим сигналом и может быть представлен в виде ряда Фурье:

Получаем

Рассмотрим теперь Фурье-образ функции :

Подставляя выражение для , имеем

После упрощения получаем

Исходя из определения преобразования Фурье, можем записать следующее:

,

где — Фурье-образ функции x(t).

Подставив это в предыдущую формулу, получим

.

Последняя формула имеет интересную интерпретацию, представленную на рис. 6.22, где мы предполагали, не нарушая общности, что полоса сигнала x(t) лежит в диапазоне от 0 до fh. Спектр сигнала xs(t) состоит из спектра сигнала x(t) и спектра, который получается из спектра сигнала x(t) при переносе каждой гармоники на несущую частоту. Каждый из перенесенных спектров умножается на соответствующий коэффициент ряда Фурье для p(t).

Рис. 6.22. Иллюстрация к теореме о дискретном представлении(дорисовать спектр периодически повторяющихся дельта функций)

Если fs > 2fh, то эти перенесенные спектры не перекрываются, а спектр сигнала x(t) умножается на коэффициент Р0, входящий в Xs(f).

Восстановление спектра исходного сигнала x(t) произойдет при передаче сигнала через фильтр который сможет отделить одну из периодически повторяющихся копий спектра исходного сигнала. Обычно выделяется копия лежащая на нулевой частоте.

 


Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...