Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Дискретное преобразование Фурье




 

Рассмотрим, что представляет собой спектр дискретного периодического сигнала.

Итак, пусть последовательность отсчетов {x(k)} является периодической с периодом N:

x(k + N) = x(k) для любого k.

 

Такая последовательность полностью описывается конечным набором чисел, в качестве которого можно взять произвольный фрагмент длиной N, например { x(k), k = 0, 1,..., N - 1}. Поставленный в соответствие этой последовательности сигнал из смещенных по времени дельта-функций:

(1)

также, разумеется, будет периодическим с минимальным периодом .

 

Так как сигнал (1) является дискретным, его спектр должен быть периодическим с периодом .

Так как этот сигнал является также и периодическим, его спектр, должен быть дискретным с расстоянием между гармониками, равным .

Итак, периодический дискретный сигнал имеет периодический дискретный спектр, который также описывается конечным набором из N чисел (один период спектра содержит гармоник).

Рассмотрим процедуру вычисления спектра периодического дискретного сигнала. Так как сигнал периодический, будем раскладывать его в ряд Фурье.

Коэффициенты Х(п) этого ряда, согласно общей формуле , равны

(2)

 

Замечание: ; ;

 

Таким образом, формула для вычисления комплексных амплитуд гармоник представляет собой линейную комбинацию отсчетов сигнала.

 

В выражении (2) реальный масштаб времени фигурирует только в множителе 1/T перед оператором суммирования. При рассмотрении дискретных последовательностей обычно оперируют номерами отсчетов и спектральных гармоник без привязки к действительному масштабу времени и частоты. Поэтому множитель 1/Т из (5.2) удаляют, то есть считают частоту дискретизации равной единице. Удаляют обычно и множитель 1/N (об этом см. замечание ниже). Получившееся выражение называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ; английский термин — Discrete Fourier Transform, DFT):

(3)

Существует и обратное дискретное преобразование Фурье. Переход от дискретного спектра к временным отсчетам сигнала выражается следующей формулой:

(4)

Это выражение отличается от формулы прямого ДПФ (5.3) лишь знаком в показателе комплексной экспоненты и наличием множителя 1/N перед оператором суммирования.

ЗАМЕЧАНИЕ -----------------------------------------------------------------------------------

В размещении множителя 1/N в формулах (5.3) и (5.4) нет полного единства. В большинстве источников, среди которых [1, 4, 8], а также в математических пакетах компьютерных программ (в том числе и в MATLAB) этот множитель фигурирует в формуле обратного ДПФ (5.4) (этот вариант принят и в данной книге). В то же время в учебнике [2] этот множитель включен в формулу прямого ДПФ (5.3).

Многомерное дискретное преобразование Фурье

 

Двумерный дискретный ряд Фурье можно представить в виде

 

где - коэффициенты ряда Фурье,

- комплексная синусоида, прямоугольно-периодичная с горизонтальным N1 и вертикальным N2 периодом.

 

 


Свойства дискретного преобразования Фурье

В целом свойства ДПФ аналогичны свойствам непрерывного преобразования Фурье, однако дискретный характер анализируемого сигнала привносит некоторую специфику.

Линейность

Из формулы (3) очевидно, что ДПФ является линейным, то есть если последовательностям {x(k)} и {y(k)} с одним и тем же периодом N соответствуют наборы гармоник Х(п) и Y(n), то последовательности {ax(k) + by(k)} будет соответствовать спектр аХ(п)+ bY(n).

 

Задержка(смещение) функции

Если задержать исходную последовательность на один такт (y(k) = x(k-1)), то, согласно (3), спектр необходимо умножить на ехр(-j2πп/N):

Поскольку мы считаем последовательность {x(k)} периодической, рассматриваемый здесь сдвиг является циклическим: y(0) = х(-1) = x(N - 1).

 

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...