Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Задачи для самостоятельного решения




 

Задача 1.Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

Задача 2. Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной кривыми и .

Задача 3. Найти объем тела ограниченного поверхностями

 

 

Замена переменных в двойном интеграле

Пусть в двойном интеграле прямоугольные координаты преобразуются к новым координатам которые связаны с соотношениями:

(5.10)

Если между областями и , лежащими в плоскостях и (рис. 11), установлено соотношениями (5.10) взаимно однозначное отображение, причем функции (5.10) имеют непрерывные частные производные первого порядка в области и якобиан отображения в области не обращается в нуль, т.е.

то имеет место следующая формула замены переменных в двойном интеграле

(5.11)

Рис. 11. Отображение областей

 

В полярных координатах формулы (5.10) имеют вид Эти формулы связывают прямоугольные координаты с полярными координатами при условии, что полюс помещен в начало координат и полярная ось направлена вдоль оси В этом случае и формула (5.11) принимает вид

Для области ограниченной лучами, образующими с полярной осью углы и , и кривыми и причем (см. рис. 12), получаем

(5.12)

 

Если область содержит начало координат (см. рис. 13), то

(5.13)

 

Рис. 12. Область D Рис. 13. Область D содержит

начало координат

 

Формулы (5.12) и (5.13) удобно использовать при решении задач, когда область есть круг или часть круга.

Обобщенными полярными координатами называют переменные и , связанные с прямоугольными координатами и формулами где

В этом случае и формула (5.11) принимает вид

 

Примеры.

Задача 1. Найти объем тела , ограниченного поверхностями

Решение. Данное тело можно представить в виде где – область на плоскости ограниченная окружностью , т.е. Поэтому . Перейдем в этом интеграле к полярным координатам:

В этих координатах область интегрирования записывается так: . Следовательно, используя формулу (5.13), получим

Задача 2. Найти моменты инерции относительно осей координат пластины с плотностью ограниченной кривыми и расположенной в I квадранте.

Решение. Данная пластина изображена на рис. 14.

Рис. 14. Область D По формулам (5.7) имеем Для вычисления этих интегралов удобнее перейти к полярным координатам:

Тогда изменяется от до (см. рис. 14), а при каждом значении из отрезка переменная изменяется от (значение на кривой уравнение которой в полярных координатах в I квадранте имеет вид ) до (значение на кривой ). Следовательно, используя формулу (5.12), получим

Аналогично получаем

 

Задачи для самостоятельного решения

 

Задача 1. Вычислить интеграл по области в полярных координатах.

Задача 2. Найти площадь области , ограниченной кривыми .

 


КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА

Криволинейные интегралы первого рода

И их приложения

Пусть на плоскости расположена ограниченная кривая , гладкая или кусочно-гладкая, функция определена и ограничена на кривой . Разобьем кривую на частей не имеющих общих внутренних точек и на каждой из этих частичных дуг кривой возьмем произвольную точку и составим интегральную сумму

(6.1)

где – длина -той частичной дуги

Пусть . Если существует предел интегральной суммы (6.1) при не зависящей от способа дробления кривой на части и от выбора промежуточных точек то этот предел называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции по кривой и обозначается

т.е. (6.2)

Из определения криволинейного интеграла следует, что его величина не зависит от того, в каком направлении обходят кривую

Кривая может быть замкнутой, в этом случае для обозначения криволинейного интеграла употребляют символ

Если – длина кривой , то из формулы (6.2) при следует, что

Если кривая – материальная, т.е. вдоль кривой распределена с плотностью некоторая масса то

Если кривая задана параметрически: то

(6.3)

если кривая задана уравнением то

(6.4)

если кривая задана уравнением в полярных координатах то

(6.5)

Понятие криволинейного интеграла 1-го рода распространяется и на случай функции трех переменных заданной в точках пространственной кривой. Вычисление такого интеграла по кривой , заданной параметрически производится по формуле

(6.6)

Примеры.

Задача 1. Вычислить где часть эллипса лежащая в I квадранте.

Решение. Параметрическое задание эллипса имеет вид Поскольку рассматривается часть эллипса, лежащая в I квадранте, то Поэтому, так как то применяя формулу (6.3) получим

Задача 2. Вычислить где кривая, заданная уравнением

Решение. Перейдем к полярным координатам: Уравнение кривой примет вид Для вычисления интеграла применим формулу (6.5). Так как то

Задача 3. Найти массу материальной кривой , заданной уравнением где , если ее плотность

Решение. По формуле для массы Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (6.4). Так как

то

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...