Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Уравнения, допускающие понижение порядка




Рассмотрим три наиболее распространенных вида дифференциальных уравнений -го порядка, допускающих понижение порядка.

a) Уравнение вида

. (8.6)

Общее решение получается с помощью -кратного интегрирования

,

где т.е. общий интеграл уравнения (8.6) есть сумма какого-либо частного решения этого уравнения и многочлена -й степени с произвольными постоянными коэффициентами.

Пример. Найти общее решение уравнения и его частное решение, удовлетворяющее условиям .

Решение. Интегрируя первый раз, получим . Повторное интегрирование дает

Следовательно, – общее решение. Подставив теперь в полученное общее решение и в выражение для первой производной значения и соответственно и , получим систему двух уравнений с неизвестными и :

Подставив найденные и в общее решение, получим искомое частное решение , удовлетворяющее заданным начальным условиям.

б) Уравнение вида

. (8.7)

Уравнение (8.7) не содержит функции и ее нескольких последовательных производных . С помощью замены понизим порядок уравнения на единиц: . Предположим, что для полученного уравнения общее решение имеет вид . Тогда искомая функция получается с помощью кратного интегрирования функции .

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение не содержит и . Положим , тогда и уравнение будет иметь вид: . Это линейное уравнение первого порядка (см. п. 7.6.). Его общее решение имеет вид . Так как , то для отыскания искомого общего решения надо проинтегрировать уравнение . Таким образом,

,

тогда

.

Следовательно, , где – произвольные постоянные, является общим решением заданного уравнения.

в) Уравнения вида

. (8.8)

Уравнение (8.8) не содержит явно независимую переменную . В этом случае примем за независимую переменную и введем новую функцию . Считая, что есть функция от и через посредство зависит от и, применяя правило дифференцирования сложных функций, получим для производных функции по выражения

,

,

аналогично вычисляются .

Подставляя в уравнение (8.8) вместо и т.д., увидим, что в новых переменных порядок уравнения будет , т.е. на единицу ниже.

Если это преобразованное уравнение проинтегрировано и – его решение, то нахождение общего интеграла данного уравнения сводится к интегрированию

.

Откуда получаем общее решение ОДУ (8.8)

.

Пример. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Положим

и подставим в исходное уравнение, тогда получим

.

Сократим на , при этом учтем теряемое решение или и получим

.

Это уравнение рассматриваемого вида, делая ту же замену придем к уравнению .

Сократив на (при этом учитываем еще одно решение , т.е. и ), получим

 

.

Проинтегрировав уравнение , находим , или .

Окончательно получим

, где .

Заметим, что в общее решение входят и потерянные ранее частные решения (кроме ).

 

Задачи для самостоятельного решения

Задача. Решить дифференциальные уравнения, используя методы понижения порядка:

а) б) в)

 

Линейные однородные уравнения с постоянными

Коэффициентами

Общий вид линейного дифференциального уравнения порядка с постоянными коэффициентами

, (8.9)

где – действительные постоянные.

Уравнение

, (8.10)

полученное заменой производных искомой функции степенями , называется характеристическим уравнением для уравнения (8.9).

Каждому действительному корню уравнения (8.10) кратности соответствуют линейно независимых решений уравнения (8.9)

, (8.11)

а каждой паре комплексных корней кратности соответствуют пар линейно независимых решений:

(8.12)

Линейная комбинация всех таких решений дает общее решение уравнения (8.9).

Запишем общее решение для случая . Рассмотрим уравнение

, (8.13)

где – действительные числа.

Характеристическое уравнение для (8.13) имеет вид

. (8.14)

Если квадратное уравнение (8.14) имеет два различных действительных корня и , то согласно (8.11) имеем два линейно независимых решения уравнения (8.13) и общее решение имеет вид

, (8.15)

где – произвольные постоянные.

Если квадратное уравнение (8.14) имеет комплексные корни , тогда согласно (8.12) имеем два линейно независимых решения уравнения (8.13) и общее решение имеет вид

. (8.16)

Если квадратное уравнение (8.14) имеет два равных действительных корня , то согласно (8.11) имеем два линейно независимых решения уравнения (8.13) и общее решение уравнения имеет вид

. (8.17)

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Им соответствуют линейно независимые решения . Следовательно, общее решение имеет вид .

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни . Им соответствуют линейно независимые решения . Следовательно, общее решение имеет вид .

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет два равных действительных корня . Им соответствуют линейно независимые решения . Следовательно, общее решение имеет вид .

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...