 |
Дифференцируемость функции
|
|
|
|
Определение 1 (дифференцируемость в точке). Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение ∆ y этой функции в точке x представимо в виде
| ∆ y =A ∆ x + ά(∆ x) ∆ x, | (1) |
где A - некоторое число, не зависящее от ∆ x, а lim∆ x→ 0 ά (∆x) = 0.
В дальнейшем будем считать, что ά (0) = 0. В этом случае функция a(x) будет непрерывной в точке ∆ x = 0. Равенство 1 можно переписать иначе, так как функции ά (∆x), ∆x - бесконечно малые в точке ∆x = 0 и их произведение тоже бесконечно малая функция, поэтому
| ∆ y =A ∆ x +o (∆ x). | (2) |
Справедлива теорема
Теорема 1. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема, тогда ее приращение представимо в виде (1). Поделив (1) на ∆ x≠ 0 получим
∆ y/ ∆ x = A+ ά(∆ x).
Переходя к пределу в последнем выражении при ∆ x→ 0, получим, что A=f'(x).
Достаточность. Пусть существует конечная производная f'(x), то есть существует конечный предел
lim∆ x→ 0 ∆ y/ ∆ x = f' (x).
Обозначим a(∆ x) = ∆ y/ ∆ x-f'(x). Отсюда вытекает представление (1).
Пример 1. Доказать, что функция |x| не дифференцируема в точке x = 0.
Решение. Найдем приращение функции в точке x = 0:
∆ y = | ∆ x|
Поэтому
lim∆ x→ -0 ∆ y/ ∆ x = -1, lim∆ x→+ 0 ∆ y/ ∆ x = 1,
следовательно, функция |x| в точке x = 0 не дифференцируема.
Следующая теорема выражает связь между непрерывностью и дифференцируемостью.
Теорема 2 (дифференцируемость и непрерывность). Если
функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то то ее приращение представимо в виде (1), из которого следует, что lim∆ x→ 0 ∆ y = 0, что означает непрерывность функции в данной точке.
|
|
|
Заметим, что из непрерывности в данной точке не следует дифференцируемость в этой точке. Это видно из рассмотренного выше примера 1.
Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором множестве X, то функция называется гладкой на этом множестве. Если производная допускает конечное число точек разрыва (причем первого рода), то такая функция называется кусочно гладкой.
Правила дифференцирования
Приведем основные правила для нахождения производной:
1. Производная постоянной равна нулю, то есть c' = 0.
2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть
(u (x)± v (x)) ' = u' (x)± v' (x).
3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, то есть
(u (x) v (x)) ' = u' (x) v (x) +u (x) v' (x).
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
(cu (x)) ' = cu' (x).
4. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
(u (x) /v (x)) ' = (u' (x) v (x) -u (x) v' (x)) /v 2(x)
при условии, что v(x)≠ 0.
5. Производная сложной функции:
h(x) = g(f(x))- сложная функция
h´(x) = g´(f(x)) · f´(x)
Формулы дифференцирования
1. (u a(x))' = a u a-1(x) u '(x), в частности,
(1 /u (x)) ' = -u' (x) /u 2(x), (
) ' = u' (x) / 2 ;
2. (loga u (x))' = (u'(x)logae)/u(x) при 0<a≠1, u(x)>0, в частности, (ln u (x))' = u'(x)/ u (x);
3. (a u (x))' = a u (x)ln a u '(x) при 0<a≠1, в частности, (e u (x))' = u'(x)e u (x);
4. (sin u (x))' = cos u (x) u '(x);
5. (cos u (x))' = -sin u (x) u '(x);
6. (tg u (x))' = u '(x)/cos2 u (x) x≠ p/2+p n, n=0,+-1,...;
7. (ctg u (x))' = - u '(x)/sin2 u (x) x≠ p n, n=0,+-1,...;
8. (arcsin u (x))' = u '(x)/ 
, -1< u (x)<1;
9. (arccos u (x))' = - u '(x)/ , -1< u (x)<1;
10. (arctg u (x))' = u '(x)/(1+ u 2(x));
11. (arcctg u (x))' = - u '(x)/(1+ u 2(x)).
|
|
|
Введем гиперболические функции:
sh x = (1 / 2)(ex-e-x)- гиперболический синус;
ch x = (1 / 2)(ex+ex)- гиперболический косинус;
th x = sh x/ ch x -гиперболический тангенс;
cth x = ch x/ sh x - гиперболический котангенс.
Из определения гиперболических функций элементарно вытекают следующие формулы для нахождения их производных.
1. (sh x) ' = ch x;
2. (ch x) ' = sh x;
3. (th x) ' = 1 / ch2 x;
4. (cth x) ' = -1 / sh2 x.
Пример1. Найти y', если
1. y(x) = x3arcsin x.
2. y(x) = ln sin (x2+1).
y' = (2 x cos(x 2+1)) / sin(x 2+1) = 2 x ctg (x 2+1)
Замечание. Производная любой элементарной функции является элементарной функцией, то есть операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций.
|
|
|
