Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Метод модифицированных жордановых исключений




 

Данный метод аналогичен методу обыкновенных жордановых исключений. Только независимые переменные записывают в верхнюю заглавную строку жордановой таблицы с противоположным знаком. При этом несколько изменяется алгоритм пересчета коэффициентов системы. Пусть, по-прежнему, дана система линейных равенств:

 

a 11 x 1 + a 12 x 2 +…+ a 1 jxj + … + a 1 sxs + … + a 1 nxn + y 1 = 0,

……………………………………………………………...

ai 1 x 1 + ai 2 x 2 +…+ aijxj + …+ aisxs + … + ainxn + yi = 0,

………………………………………………………………

ar 1 x 1 + ar 2 x 2 + …+ arjxj +… + arsxs + … + arn xn + yr = 0, (1.6)

………………………………………………………………

am 1 x 1 + am 2 x 2 +…+ amjxj + … + amsxs + …+ amnxn + ym = 0.

 

Перенесем все слагаемые, содержащие xj в правую часть равенств. Получим систему:

y 1 = a 11(– x 1) + a 12(– x 2) +…+ a 1 j (– xj) + … + a 1 s (– xs) + … + a 1 n (– xn),

…………………………………………………………………..……....

yi = ai 1(– x 1) + ai 2(– x 2) +…+ aij (– xj) + …+ ais (– xs) + … + ain (– xn),

………………………………………………………………………..…

yr = ar 1(– x 1) + ar 2(– x 2) + …+ arj (– xj) +… + ars (– xs) + … + arn (– xn), (1.7)

………………………………………………….…………………….…

ym = am 1(– x 1)1 + am 2(– x 2) +…+ amj (– xj) + … + ams (– xs) + …+ amn (– xn).

 

Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную xs, и подставим во все остальные равенства. Коэффициент ars при
(– xs) должен быть отличен от нуля. Число ars по-прежнему называется разрешающим элементом. Мы получим следующую систему:

 

y 1 = b 11(– x 1) + b 12(– x 2) +…+ b 1 j (– xj) + … + b 1 s (– yr) + … + b 1 n (– xn),

………………………………………………………………..………....

yi = bi 1(– x 1) + bi 2(– x 2) +…+ bij (– xj) + …+ bis (– yr) + … + bin (– xn),

………………………………………………………………………..…

xs = br 1(– x 1) + br 2(– x 2) + …+ brj (– xj) +… + brs (– yr) + … + brn (– xn), (1.8)

…………………………………………………………………..………

ym = bm 1(– x 1)1 + bm 2(– x 2) +…+ bmj (– xj) + … + bms (– yr) + …+ bmn (– xn).

 

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.8) через коэффициенты исходной системы (1.7). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной xs через остальные переменные, примет вид:

 

(1.9)

 

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

 

(1.10)

 

Вычислим теперь новые коэффициенты bij произвольного уравнения (i ¹ r). Для этого подставим выраженную в (1.3) переменную xs в i -е уравнение системы (1.1):

 

 

После приведения подобных членов получим:

 

(1.11)

 

Из равенства (1.11) получим формулы, по которым вычисляются коэффициенты системы произвольного уравнения системы (1.8), за исключением r -го уравнения:

 

(1.12)

 

Преобразования систем линейных уравнений методом модифицированных жордановых исключений оформляется в виде таблиц, аналогичных таблицам метода обыкновенных жордановых исключений. Только переменные, находящиеся в верхней заглавной строке таблицы, берутся со знаком минус. Таким образом, задаче (1.7) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

 

  x 1 x 2 xj xs xn
y 1 a 11 a 12   a 1 j   a 1 s   a 1 n
…………………………………………………………………..
yi ai 1 ai 2   aij   ais   ain
…………………………………………………………………..
yr ar 1 ar 2   arj   ars   arn
………………………………………………………………….
yn am 1 am 2   amj   ams   amn

Табл. 1.5.

 

После совершения одного шага, в результате которого независимая переменная xs заменяется переменной yr, мы приходим к следующей таблице:

 

  x 1 x 2 xj yr xn
y 1 b 11 b 12   b 1 j   b 1 s   b 1 n
…………………………………………………………………..
yi bi 1 bi 2   bij   bis   bin
…………………………………………………………………..
xs br 1 br 2   brj   brs   brn
………………………………………………………………….
yn bm 1 bm 2   bmj   bms   bmn

Табл. 1.6.

 

Заметим, что в левый заглавный столбец переменная xs попадает со знаком плюс, а в верхнюю заглавную строку переменная yr попадает со знаком минус. Разрешающий элемент ars мы по-прежнему будем выделять жирным шрифтом.

Алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от таблицы (1.5) к таблице (1.6), вытекающий из формул (1.10) и (1.12), почти не отличается от соответствующего алгоритма метода обыкновенных жордановых исключений. Отличие состоит только в изменении знаков пересчитываемых коэффициентов разрешающей строки и разрешающего столбца:

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент:

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент и меняют знак на противоположный:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последнюю формулу, так же как и раньше, можно запоминать, используя диаграмму:

 

aij     ais
  +  
       
arj     ars

Пример 1.2. Пусть дана система линейных равенств:

 

y 1 = 3 x 1 – 2 x 2 – 4 x 3 + 2 x 4,

y 2 = 3 x 1 – 9 x 2 + 2 x 3 – 8 x 4,

y 3 = –3 x 1 + 7 x 2 – 5 x 3 + 6 x 4.

 

Применяя метод модифицированных жордановых исключений, запишем данную систему в виде следующей жордановой таблицы:

 

  x 1 x 2 x 3 x 4
y 1 –3     –2
y 2 –3   –2  
y 3   –7   –6

Табл. 1.7.

 

Выберем в качестве разрешающего элемента число –2, находящееся на пересечении 2-ой строки и 3-го столбца. При этом переменная x 3 меняется с переменной y 2 местами, и мы получим новую таблицу:

 

 

  x 1 x 2 y 2 x 4
y 1 -9      
x 3 1,5 –4,5 –0,5 –4
y 3 –4,5 15,5 2,5  

Табл. 1.8.

 

Элементы таблицы 1.8 вычислялись по описанному выше алгоритму:

1. Разрешающий элемент заменился на обратное число:

 

2. Остальные элементы разрешающей строки вычислялись по формуле:

 

 

3. Остальные элементы разрешающего столбца вычислялись по формуле:

 

 

 

4. Остальные коэффициенты системы пересчитывались по формулам:

 

 

 

 

 

В заключение первой главы отметим, что, несмотря на похожесть двух описанных выше методов, оба они находят свое применение в различных разделах математики. Так, в линейной алгебре гораздо чаще используется метод обыкновенных жордановых исключений как менее громоздкий по сравнению с методом модифицированных жордановых исключений. Метод модифицированных жордановых исключений был специально разработан для решения задач математического программирования. Дело в том, что метод модифицированных жордановых исключений обладает одним замечательным свойством: на каждом шаге элементы разрешающего столбца меняют свои знаки, а разрешающей строки – нет (за исключением разрешающего элемента). На использовании этого свойства и построен так называемый метод Штифеля, описанный в третьей главе настоящего пособия.

 

 

ГЛАВА II

 

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЖОРДАНОВЫХ ИСКЛЮЧЕНИЙ

В ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...