Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Построение эпюр поперечных сил

Внутренние силовые факторы. Метод сечений

Краткие теоретические сведения

Внутренние силы, возникающие от внешних нагрузок, приложенных к телу, следует рассматривать как дополнительные силы взаимодействия между частицами тела, появляющиеся вследствие изменения расстояний между ними, то есть вследствие деформации тела. Для определения внутренних сил применяется метод сечений.

Рис. 2.1 Рассечем мысленно деформированное тело на две части: левую и правую, тем самым мысленно отбрасываем все внутренние связи, соединяющие указанные части тела в единое целое (рис. 2.1).

Пользуясь аксиомой связей, можно отделить мысленно одну часть тела от другой и взамен исключенных при этом связей к каждой из частей тела приложить на плоскости мысленного сечения силы, равные усилиям в исключенных связях.

При этом равновесие тела не нарушается. Эти силы, распределенные непрерывно по всему сечению, называют внутренними силами.

Внутренние силы, распределенные по поперечному сечению, могут быть приведены к центру тяжести сечения и, таким образом, заменены главным вектором и главным моментом, которые можно разложить на составляющие по осям: N – продольную силу, Qx и Qy – поперечные силы, Мx и Мy – изгибающие моменты, Мz – крутящий момент, называемые внутренними усилиями.

N, Qx, Qy, Мx, Мy, Мz являются статическим эквивалентом внутренних сил, распределенных по поперечному сечению, проведенному на границе частей бруса.

Рис. 2.2 Внутренние усилия находятся из уравнений равновесия (рис. 2.2): ; ; ; ; ; .

Графические представления функции изменения внутренних усилий вдоль оси стержня называют эпюрами.

 

Построение эпюры продольной силы

 

Введем правило знаков: за положительное направление продольной силы принимается направление растягивающей силы относительно сечения.

 

Пример 1

 

Рис. 2.3

 

Для стержня, изображенного на схеме (рис. 2.3), построить эпюру продольной силы.

Решение

Направим ось z вдоль оси стержня. Стержень нагружен уравновешенной системой сил:

.

Для построения эпюры продольной силы необходимо рассмотреть три участка. Внутри участка продольная сила должна быть описана либо одной функцией, либо сохранять постоянное значение.

Рассматривая первый участок, рассечем стержень по сечению I-I и оставим левую часть. Действие отброшенной правой части заменим неизвестной продольной силой , где м.

Рис. 2.4 Направление продольной силы – растягивающей относительно сечения. Продольная сила должна быть найдена так, чтобы оставленная часть находилась в равновесии:

, откуда (кН),

получили, что на всем первом участке продольная сила постоянна и равна 15 кН. Значения найденной продольной силы откладываются на оси стержня (рис. 2.3).

Рассмотрим второй участок. Рассечем стержень по сечению II-II на длине z 2 от начала участка и оставим левую часть (рис. 2.5).

z 2 изменяется в пределах м.

Рис. 2.5 Действие отброшенной части на оставленную заменим действием неизвестной силы , которую

определим из уравнения равновесия:

,

откуда (кН), т.е. продольная сила постоянна на всем втором участке и равна 30 кН. Нанесем на эпюру (рис. 2.3).

Рассмотрим третий участок. Рассечем стержень по сечению III-III на длине z 3 от начала участка и оставим правую часть, длиной .

Рис. 2.6 Действие отброшенной левой части заменим действием неизвестной силы (рис. 2.6), которую находим из уравнения равновесия оставленной части:

, откуда (кН).

Нанесем на эпюру (рис. 2.3).

Заметим, что для стержня, нагруженного сосредоточенными силами, внутри участков продольная сила сохраняет постоянные значения. На границах участков – скачки, величины которых равны величинам сосредоточенных сил, приложенных в данном сечении.

Пример 2

Рис. 2.7

 

Стержень нагружен сосредоточенной силой F = 10 кН и распределенной вдоль оси нагрузкой q = 20 кН/м (рис. 2.7).

Построить эпюру продольной силы.

Решение

Определим реакцию R в защемлении из уравнения равновесия бруса. Направим ось z вдоль оси бруса: , откуда кН. На заданном стержне продольная сила описывается одной функцией, то есть нужно рассматривать один участок.

Рассечем стержень на расстоянии z от защемления на две части и рассмотрим левую часть (рис. 2.8).

Рис. 2.8 Действие отброшенной части на оставленную заменим действием неизвестной продольной силы , которую найдем из уравнения равновесия оставленной части:

,

откуда функция линейная. Для построения прямой найдем значения в двух точках кН; кН.

Нанесем на эпюру.

Пример 3

Рис. 2.9

Для ступенчатого стержня, представленного на рис. 2.9, построить эпюру продольной силы, если F = 20 кН, q = 10 кН/м,
l 1 = 0,8 м, l 2 = 1 м, l 3 = 1,2 м.

Определим реакцию в защемлении: из уравнения равновесия всего стержня , тогда

кН.

Рассмотрим три участка.

Сечение I-I

Рис. 2.10 Рассмотрим равновесие левой части (рис. 2.10), где , , откуда , для построения линейной функции найдем значения

в двух точках кН, кН.

Сечение II-II

Рис. 2.11 Обозначая z 2 – длину от начала участка до сечения (где ), рассмотрим равновесие левой части, − искомая продольная сила,

заменяющая действие отброшенной части на оставленную.

Уравнение равновесия:

,

, кН,

кН.

Сечение III-III. Рассекая стержень на длине z 3 от начала участка, оставим правую часть, где .

Рис. 2.12 Рассмотрим уравнение равновесия для оставленной части (рис. 2.12). , откуда кН,

т.е. постоянно на всем третьем участке.

 

Эпюры крутящих моментов

 

Правило знаков

Рис. 2.13 Крутящий момент внутри сечения направляется против часовой стрелки (если смотреть на сечение со стороны положительной нормали).

Пример 1

Рис. 2.14

Для представленного на рис. 2.14 стержня построить эпюру крутящего момента.

Применяя метод сечений, рассмотрим три участка.

I участок: рассечем стержень по сечению I-I и рассмотрим левую часть, заменяем действие отброшенной части на оставленную действием неизвестного момента ТК 1 (рис. 2.15).

Рис. 2.15 Находим этот момент из уравнения равновесия: , откуда (кН×м).

II участок

Рис. 2.16 Рассечем стержень по сечению II-II. Рассмотрим левую часть (рис. 2.16). Находим момент ТК 2 из уравнения равновесия:

, откуда (кН×м).

III участок

Рис. 2.17 Рассечем стержень по сечению III-III и рассмотрим правую часть (рис. 2.17). ТК 3 находим из уравнения равновесия оставленной части:

, откуда (кН).

Нанесем найденные значения на эпюру (рис. 2.14).

Рис. 2.18 Для стержня (рис. 2.18) построить эпюру крутящих моментов.  

 

Решение

Найдем момент ТR − реакцию в защемлении:

,

(кН×м).

Для построения эпюры крутящих моментов нужно рассмотреть два участка.

 

I участок: рассечем стержень на длине z 1 от защемления и рассмотрим равновесие левой части (рис. 2.19), где .

Рис. 2.19 , откуда (кН×м). Следовательно, на всем левом участке крутящий момент постоянен и равен 18 кН×м (рис. 2.18).

II участок: рассечем стержень по координате z 2 от границы участков, но для определения внутреннего силового фактора (крутящего момента) рассмотрим равновесие правой части
(рис. 2.20).

Рис. 2.20 Длина оставленной части , где . Уравнение статического равновесия

,

− линейная зависимость.

кН×м.

кН×м.

Построим эпюру по двум найденным точкам (рис. 2.18).

 

Построение эпюр поперечных сил

И изгибающих моментов

 

Рис. 2.21

 

Пример 1

Рис. 2.22 Для представленного на рисунке стержня построить эпюры внутренних силовых факторов (поперечных сил и изгибающих моментов). Решение Найдем реакции в защемлении из суммы проекций всех сил на вертикальную ось: , откуда .

Из суммы моментов всех сил относительно точки о:

; .

Рассмотрим правую часть стержня от сечения I-I:

Рис. 2.23 . Из суммы сил , .

Для определения момента рассмотрим сумму моментов сил относительно сечения, то есть точки С:

,

откуда − линейная функция. , . Построим эпюры (рис. 2.22).

 

Пример 2

Рис. 2.24 Для изображенной на рис. 2.24 балки построить эпюры внутренних силовых факторов. Определим реакции опор. , откуда ;

, откуда .

Проверим реакции .

Реакции найдены верно.

Для построения эпюр внутренних силовых факторов рассмотрим два участка.

I участок: рассечем по сечению I и оставим левую часть
(рис. 2.25).

Рис. 2.25 Найдем поперечную силу Q 1 и момент из уравнений статического равновесия , откуда .

, откуда , где . Поперечная сила сохраняет постоянное значение на всем участке. Изгибающий момент меняется линейно от до (рис. 2.24).

II участок: рассечем по сечению II и рассмотрим правую часть длиной (рис. 2.25).

Рис. 2.26 Направим искомые силовые факторы в соответствии с правилом знаков (рис. 2.21). Из уравнений равновесия для оставленной правой части определим неизвестные силовые факторы

, откуда .

, откуда .

Поперечная сила сохраняет на втором участке постоянное значение Q ; изгибающий момент меняется – линейно от до (рис. 2.24).

Правильность построения эпюр внутренних силовых факторов при изгибе удобно проверять по дифференциальным зависимостям:

; .

Следует обратить особое внимание на второе соотношение. Вспоминая исследование функций, заметим: если поперечная сила на участке положительна − момент возрастает, если поперечная сила на участке отрицательна − момент убывает, если Q = 0 на участке − момент сохраняет постоянное значение, если Q = 0 в точке – момент в этой точке принимает экстремальное значение.

В примере 2 на первом участке Q > 0 – момент возрастает от 0 до ; на втором участке − момент убывает от до 0. Балка симметрично нагружена. Эпюра поперечной силы кососимметрична, эпюра момента симметрична (рис. 2.24).

 

Пример 3

Рис. 2.27 Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 2.27). Решение Найдем реакции опор из уравнений статического равновесия:

, откуда ,

, откуда .

Проверим реакции:

- реакции найдены верно.

Для построения эпюр внутренних силовых факторов рассмотрим два участка.

I участок: .

Рис. 2.28 Из уравнений статического равновесия: , откуда постоянна на всем участке , откуда

- линейная зависимость ; , нанесем на эпюру (рис. 2.27).

II участок: .

Рис. 2.29 Из уравнений равновесия оставленной части: , откуда

, постоянна на всем участке.

, откуда - линейная зависимость ; , нанесем на эпюру (рис. 2.27).

Балка нагружена кососимметрично: эпюра поперечной силы симметрична, эпюра момента кососимметрична. В точке приложения сосредоточенного момента на эпюре изгибающего момента скачок на величину момента (рис. 2.27).

Рассмотрим балки, нагруженные распределенной нагрузкой.

 

Пример 4

Рис. 2.30 Консольная балка загружена по всей длине распределенной нагрузкой интенсивностью q (q – нагрузка на единицу длины). Найдем реакции в защемлении , откуда . , откуда .

Для построения эпюр внутренних силовых факторов рассмотрим сечение .

Рис. 2.31 В данном случае поперечная сила является функцией z. Из уравнений статического равновесия ,

откуда - т.е. равна равнодействующей распределенной нагрузки на участке длиной z. Получили линейную зависимость изменения поперечной силы от z ; . Нанесем на эпюру (рис. 2.30).

Рассмотрим сумму моментов относительно сечения, учитывая, что равнодействующая равномерно распределенной нагрузки приложена в средине участка, тогда ее момент ,

, откуда - квадратичная зависимость. Найдем значения момента в двух точках и распорядимся кривизной ; ; вторая производная , следовательно, парабола, представляющая эпюру момента, выпуклая (рис. 2.30).

 

Пример 5

Половина длины балки загружена распределенной нагрузкой. Построить эпюры внутренних силовых факторов (рис. 2.32).

 

Рис. 2.32 Решение Определим реакции опор из уравнений статического равновесия балки , откуда . , откуда .

Проверим реакции:

,

Реакции найдены верно.

Для построения эпюр внутренних силовых факторов рассмотрим два участка.

I участок: .

Рис. 2.33 Из уравнений статического равновесия оставленной части (рис. 2.33) , откуда - линейная зависимость.

; .

Построим прямую по двум найденным точкам

, откуда

- параболическая зависимость. ;

.

На рассматриваемом участке поперечная сила пересекает ось (рис. 2.32), в этой точке момент должен быть максимальным, поскольку слева , т.е. момент возрастает, справа , т.е. момент убывает.

Для определения значения максимального момента найдем координату zо точки пересечения из уравнения , откуда , тогда

.

 

II участок: .

Рис. 2.34 Рассмотрим уравнения статического равновесия оставленной части (рис. 2.34).

,

откуда , т.е. сохраняет постоянное значение на всем участке.

,

откуда – линейная зависимость ;

.

Построим эпюру по двум найденным значениям (рис. 2.32).

Рассмотрим построение эпюр внутренних силовых факторов в рамах. Рассмотрим сначала плоские рамы. Внутренними силовыми факторами в плоских рамах являются: продольная сила, поперечная сила и изгибающий момент. Правило знаков:

Рис. 2.35 продольная сила направляется растягивающей относительно сечения, поперечная сила получается поворотом продольной на 90° по часовой стрелке, изгибающий момент направляется на предполагаемое сжатое волокно.

Пример 6

Рис. 2.36 Для представленной на схеме плоской рамы построить эпюры внутренних силовых факторов. Решение Определим реакции опор из уравнений статического равновесия. , откуда хВ = F.

;

;

;

.

Проверим реакции опор:

,

реакции найдены верно.

Для построения эпюр внутренних силовых факторов рассмотрим три участка.

I участок: рассечем раму по сечению I-I и рассмотрим левую часть (участок длиной z 1, где ) (рис. 2.37).

Рис. 2.37 Внутренние силовые факторы найдем из уравнений равновесия оставленной части: ;

, откуда ;

, откуда - линейная зависимость ;

.

II участок: рассечем стержень по сечению II-II и оставим правую часть (участок длиной z 2, где ) (рис. 2.38).

Рис. 2.38 Составим уравнения статического равновесия оставленной части , откуда ; , откуда ;

, откуда ;

; .

Поперечная и продольная силы сохраняют постоянные значения на всем участке, момент изменяется линейно (рис. 2.36).

III участок: рассечем раму по сечению III-III и оставим нижнюю часть (участок стержня длиной z 3, где ).

Рис. 2.39 Уравнения статического равновесия оставленной части (рис. 2.39): , откуда ; , откуда ; , откуда .

Продольная и поперечная силы сохраняют постоянные значения в пределах участка, изгибающий момент меняется линейно.

; .

Эпюры внутренних силовых факторов строятся на отдельных контурах (рис. 2.40).

 

Рис. 2.40

 

Пример 7

Рис. 2.41 Для плоской рамы, представленной на схеме, построить эпюры внутренних силовых факторов. Решение Найдем реакции в защемлении из уравнений статического равновесия рамы

; , откуда ;

, откуда .

Для построения эпюр внутренних силовых факторов рассмотрим три участка.

I участок

Рис. 2.42 рассечем первый участок по сечению I-I и оставим правую часть длиной z 1, где (рис. 2.42). Определим внутренние силовые факторы из уравнений статического равновесия

; , откуда , линейная зависимость ; ;

; - параболическая зависимость. ; .

II участок

Рис. 2.43 рассечем второй стержень на длине , где (рис. 2.43). Определим внутренние силовые факторы из уравнений статического равновесия оставленной части:

, откуда ;

, откуда ;

, откуда - линейная зависимость. ; .

III участок

Рис. 2.44 рассечем третий стержень по сечению III-III на расстоянии z 3 от защемления, где (рис. 2.44). , откуда ;

, откуда ;

, откуда - линейная зависимость ; .

Построим эпюры (рис. 2.45).

Рис. 2.45

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...