ГРУППА II Аксиомы порядка.

Если на прямой даны три точки, то одна из них может находиться к двум другим в отношении «лежать между», которое удовлетворяет следующим аксиомам:

II₁ Если В лежит между А и С, то А,В, С- различные точки одной прямой и В лежит между С и А.

II₂ Каковы бы ни были две точки А и В, существует по крайней мере одна точка С на прямой АВ, такая, что В лежит между А и С.

II₃ Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими

По Гильберту над отрезком АВ(ВА) понимается пара точек А и В. Точки А и В называются концами отрезка, а любая точка лежащая между точками А и В называется внутренней точкой отрезка АВ(ВА).

ЗАМЕЧАНИЕ: Но из II_1-II₃ пока не следует, что у всякого отрезка есть внутренние точки, но из II_2,Þ что у отрезка есть внешние точки.

II₄ (аксиома Паша) Пусть А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, а - прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через одну из точек А,В,С. Тогда если прямая, а проходит через точку отрезка АВ, то она проходит также через точку отрезка АС или ВС.

Сл.1: Каковы бы ни были точки А и С, существует по крайней мере одна точка D на прямой АС, лежащая между А и С.

Док-во: I₃Þ$ т.Е не лежащая на прямой АС

,II₂Þ$F, что А-Е-F,II₂Þ$G:F-C-G. т.GÏFC. По II₄ прямая ЕG должна пересечь либо АС либо FС, но FС, она не пересекает, значит АСÞD лежит между А и С. ч.т.д.

Теперь можно доказать два утверждения

Сл3 Утверждение II₄ имеет место и в случае, если точки А, В и С лежат на одной прямой.

И самое интересное.

Сл.4. Между любыми двумя точками прямой существует бесконечное множество других ее точек (самост.).

Однако нельзя установить, что множество точек прямой несчетное.

Аксиомы I и II групп позволяют ввести такие важные понятия как полуплоскость, луч, полупространство и угол. Сначала докажем теорему.

Тh1. Прямая а, лежащая в плоскости a, разделяет множество точек этой плоскости, не лежащих на прямой а, на два непустых подмножества так, что если т. А и В принадлежат одному подмножеству, то отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а; если же эти точки принадлежат разным подмножествам, то отрезок АВ имеет общую точку с прямой а.

Идея: вводится отношение, а именно, т. А и В Ï а находятся в отношенииΔ, если отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а или эти точки совпадают. Затем рассматривалися множества классов эквивалентности по отношению Δ. Доказывается, что их только два при помощи несложных рассуждений.

Опр1 Каждое из подмножеств точек, определяемых предыдущей теоремой называется полуплоскостью с границай а.

Аналогично можно ввести понятия луча и полупространства.

Луч- h, а прямая- .

Опр2 Угол - это пара лучей h и k, исходящих из одной т. О и не лежащих на одной прямой. т.О называется вершиной угла, а лучи h и k сторонами угла. Обозначаем обычным образом: Ðhk.

Точка M называется внутренней точкой угла hk, если точка М и луч k лежат в одной полуплоскости с границей и точка М и луч k лежат в одной полуплоскости с границей . Множество всех внутренних точек называется внутренней областью угла.

Внешняя область угла - бесконечное множество, т.к. все точки отрезка с концами на разных сторонах угла являются внутренними. Следующее свойство из методических соображений часто включают в аксиомы.

Свойство: Если луч исходит из вершины угла и проходит хотя бы через одну внутреннюю точку этого угла, то он пересекает любой отрезок с концами на разных сторонах угла. (Самост.)