Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Формула Эйлера для определения критической нагрузки сжатого стержня.




Определим величину силы F, при которой форма равновесия становится неустойчивой (минимальную величину силы, при которой становится неустойчивой). Вывод основуется на допущениях:

1) Напряжение в сечениях бруса не превышает предела пропорциональности (напряжение, до которого сохраняется закон Гука), т.е. материал работает в пределах упругости.

2) Деформации бруса равны по сравнению с его размерами, тогда можно применять диф-е ур-е изогнутой оси бруса.

d2W/dx2=M(x)/EImin; M(x)= –Fx;

d2W/dx2= –FW/EImin; W″+ +(F/EImin)W=0; k2=F/EImin; W(x)= Asinkx + Bcoskx;

1) при x=0:

W(0)=0; A∙0+B∙0=0; B=0.

2) при x=ℓ:

W(ℓ)=0: W(ℓ)=Asinkℓ=0; A≠0; sinkℓ=0; kℓ=πn; k=πn/ℓ. Приравнивая k к k2 получаем: n2π2/ℓ2 = F/EImin; F= n2π2 EImin /ℓ2; при n=1→Fmin=Fкр

Fкр2EImin/ℓ2 – формула Эйлера.

W(x)=Asinkx; Wmax при х-?:

W′x(x)=Akcoskx=0; coskx=0; kx= π/2; x=π/2k; Wmax=A∙1=f→A=f.

W(x)=fsinkx – закон изменения деформации стержня по длине бруса. Определим геометрический смысл n.

х (координата)=π/2k ­­– координата max. прогиба.

x=π/2k={k=nπ/ℓ}=πℓ/2nπ=ℓ/2n;

xmax=ℓ/2n.

Для n=1: Fкр=x2EImin/ℓ2;

Для n=2: Fкр=4π2EImin/ℓ2;

Для n=3: Fкр=9π2EImin/ℓ2;

n показывает сколько полуволн укладывается на длине бруса при потере устойчивости под действием Fкр.

Iz=bh3/12; Iy=bh3/12; Iz >> Iy;

Iz – ось наибольшей жесткости. EIz – жесткость поперечного сечения бруса на изгиб. Iy – ось наименьшей жесткости. Плоскость xOz перпендикулярна оси наименьшей жесткости. При продольном изгибе бруса (потере его устойчивости) изогнутая ось лежит в плоскости перпендикулярной оси наименьшей жесткости. Ось y – нейтральная ось. Если для бруса Iz ≠ Iy, то всегда при потере устойчивости изогнутая ось лежит в плоскости перпендикулярной оси наименьшей жесткости, и в формулу Эйлера подставляем наименьший из моментов инерции. Рациональной формой поперечного сечения для сжатого длинного и тонкого бруса будет та, у которой моменты инерции Iz = Iy (обладающие центральной симметрией и имеющие момент инерции при наименьшей площади).

 

А12; I1>>I2; 1 рациональней 2.

Предел применимости формулы Эйлера. Расчеты на устойчивость.

Критическое напряжение σкр – это напряжение, которое возникает в сжатом брусе при нагрузке F=Fкр.

σкр=Fкр/A=π2EImin/Aℓ2={Imin/A= i2min}=π2E/(ℓ/i)2 – для шарнирно опертого бруса.

λ пред ={предельная гибкость}= √(π2E/σпропорц) – зависит только от свойств материала.

λ ≥√(π2E/σпропорц); λ пред ≥ λ; При решении задачи на устойчивость надо делать проверку:

– посчитать λ для рассматриваемого бруса.

– сравнить с λпред, взятым из таблиц.

Если λ< λпред, то расчет ведут по формулам Ясинского, или только на сжатие в зависимости от величины λ.

Формула Ясинского: σкр=a-bλ. Формула Ясинского для конструкционных материалов; a и b получены экспериментальным путем, их берут из таблиц. σкр2E/λ2; При расчетах брусьев на сжатие, необходимо определить геометрическую характеристику λ из таблиц для рассматриваемого материала, выбрать величины из таблиц λ0 и λпред, и после этого определиться по каким формулам следует вести расчет на сжатие.

Сложное сопротивление. Изгиб с кручением брусьев. Условие прочности.

Деформацию изгиба с кручением вызывают внешние силы перпендикулярные продольной оси, но не проходящие через нее (внешние силы и моменты лежат в плоскости, которая не проходит через продольную ось).

Рама – жесткое соединение не скольких брусьев (получают сваркой). (Каждый брус работает на растяжение сжатие, изгиб кручение).

Ферма - соединение брусьев с помощью шарниров.

Расчет на прочность ведут по эквивалентным напряжениям, которые вычисляются по одной из теории прочности. Валы изготавливают из пластических материалов, для которых хорошо зарекомендовали себя 3 и 4 теории прочности.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...