Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Многоканальная система массового обслуживания с отказами




 

Допустим, что система имеет п каналов и работает с отказом. Строим граф состояний (рис. 5.2)

Из графа состояний видно, что перевод системы слева направо осуществляется с плотностью λ, что обусловлено независимостью потока заявок от числа каналов обслуживания. Обратный перевоз системы справа налево осуществляется с суммированной плотностью кμ (суммируются потоки от всех занятых каналов).

х2 к=2
х0 к=0
х1 к=1
хк к=к
хп к=п
λ
λ
λ
λ

 

 


…… ……

пμ
μ
кμ

 

 


где к - число занятых каналов.

Рис. 5.2. Граф состояний многоканальной СМО с отказами

 

Применяя мнемоническое правило «что вытекает, то и втекает» получаем:

для к=0: Р0 = μР1; Р1= Р0 = λ Р0 : Р0 = Р1

для к=1: λ Р1 + μР1 = λ Р0 +2 μР2; 2 μР2= λ Р1 + μР1 - λ Р0

2 μР2= λ Р1 + μР1 - λ Р1; Р2 = Р1= Р1= Р0

для к=2: λ Р2+2 μР2 = λ Р1 +3 μР3; 3 μР3 = λ Р2 +2 μР2 - λ Р1;

3 μР3 = λ Р2+ μР2 - λ Р2; Р3 = Р2 = Р2 = Р0

Аналогично и для к и п занятых каналов. В общем случае можно записать

 

Число занятых каналов   Приведенное правило «что вытекает, то и втекает» Вероятности состояний для многоканальной системы с отказами
к=0 λ Р0 = μР1 Р1= Р0
к=1 λ Р1 = 2μР2 Р2= Р1 = Р0
к=2 : : к - 1 : : п - 1 λ Р2 = 3μР3 : : λ Рк-1 = кμРк : : λ Рп-1 = пμРп Р3 = Р2 = Р0 : : Рк = Рк-1 = Р0 : : Рп = Рn-1 = Р0

 

Сумма вероятностей всех состояний должна быть = 1 потому

 

. (5.17)

 

Пример: смотри условие предыдущего примера, только п = 2 (λ = 5; μ = 3; п = 2).

Решение:

1. Определяем параметр α, то есть приведенную плотность

1,67

2. Определим вероятность состояния х0, то есть полного простоя станции

0,246

Следовательно, 24,6% времени станция будет полностью простаивать (в предыдущем примере Р0 = 0,375)

 

3. Определим вероятность других состояний

Р1 = α Р0= 1,67·0,246 = 0,41; 0,344

Проверка

0,246 + 0,41 + 0,344 =1 (верно)

 

4. Вероятность отказа системы

Ротк= Р2 =0,344

То есть, 34,4% получают отказ (в предыдущем примере Ротк =0,625)

 

5. Относительная пропускная способность

qотн = 1- Ротк = 1 - 0,344 = 0,656

То есть, 65,5% автомобилей будут обслужены (в предыдущем примере 37,5%)

 

6. Определяем абсолютную пропускную способность станции:

за 1 ч → Qабс = λ · qотн = 5 · 0,656 = 3,28 авт./час

за 10 ч → 32,8 авт. (в предыдущем примере ≈ 19 авт.)

 

7. Определяем номинальную (max) пропускную способность станции

Qmax = μ·t·n = 3·10·2 = 60 авт.

 

8. Отношение = = 1,83 (в предыдущем примере -1,6)

 

9. Определим среднее число занятых каналов

М(к) = = 1 · 0,41 + 2 · 0,344 = 1,098 каналов.

 

Многоканальные СМО с ожиданием при

Ограниченной очереди

Допустим СМО имеет п каналов обслуживания и m мест в очереди. Как только все места в очереди заняты заявка получает отказ. Построим граф состояний (рис.5.3)

х2 к=2
х 0 к=0
х1 к=1
пμ
хп к=п
λ
λ
λ
λ
кμ
μ
xn+3 S=3
xn+2 S=2
xn+m S=m
λ
λ
λ
пμ
пμ
пμ
хп+1 S=п

 


….. …..

 

Нет очереди
Возникает очередь

 

 


Рис. 5.3. Граф состояний многоканальной СМО с ожиданием при ограничении очереди

 

Из графа состояний видно, что поток слева направо характеризуется плотностью λ, а справа налево до возникновения очереди суммарной плотностью кμ, а после возникновения очереди постоянной плотностью пμ.

Пользуясь мнемоническим правилом вычислим вероятности состояний системы:

До возникновения очереди

Число занятых каналов, к   Приведенное правило «что втекает, то и вытекает»   Вероятности состояний системы
      : : к=п- 1 λ Р0 = μР1 λ Р1 = 2μР2 λ Р2 = 3μР3 : : λ Рк-1 = кμРк Р1= α Р0 Р2= Р0 Р3 = Р0 : : Рп = Р0

 

 

После возникновения очереди

 

Число занятых мест S, Приведенное правило «что втекает, то и вытекает»   Вероятности состояний системы
        : : S : : m λ Рn = nμРn+1 λ Рn+1 = nμРn+2 λ Рn+2 = nμРn+3   : : λ Рn+S-1 = nμРn+3 : : λ Рn+m-1 = nμРn+m   Рn+1 = Рn = · Р0 Рn+2 = Рn+1 = · Р0 Рn+3 = Рn+2 = · Р0 : : Рn+3 = Рn+S-1 = · Р0 : : Рn+m = Рn+m+1= · Р0

 

Сумма вероятностей всех состояний системы = 1, то есть

 

, (5.18)

откуда

. (5.19)

 

Пример: (смотри предыдущий пример) λ = 5; μ = 3; n = 2 и m = 2

Решение:

1.

Нет очереди
Возникает очередь
Строим граф состояний

 

 

х2 к=2
х0 к=0
х1 к=1
х3 S=1
хп S=2
λ
λ
λ
λ
μ

 

 


Рис. 5.4. Граф состояний двухканальной СМО с двумя местами в очереди

2. Определим приведенную плотность α

α= 1,67

3. Вероятность состояния х0, полного простоя станции

=0,16

4. Вероятность состояний системы до возникновения очереди

Р1 = α Р0 = 1,67∙0,16 = 0,27; 0,16 = 0,225

5. Вероятность состояний после возникновения очереди

Р3 = Р0 = 0,16 = 0,186

Р4 = Р0 = 0,16 = 0,159

Проверка

0,16 + 0,27 + 0,225 + 0,186 + 0,159 = 1

6. Вероятность отказа Ротк = Р4 = 0,159

7. Относительная пропускная способность станции

qотн =1- Ротк = 1- 0,159 = 0,841 (в предыдущем примере 0,656)

То есть 84% автомобилей будут обслужены.

8. Абсолютная пропускная способность станции

за 1 ч → Qабс = λ · qотн = 5 · 0,841 = 4,205 авт./ч

за 10 ч → 42,05 авт. (в предыдущем примере ≈ 32,8 авт.)

9. Номинальная (max) пропускная способность станции

Qmax = μ·t·n = 3·10·2 = 60 авт.

10. Отношение = 1,42 (в предыдущем примере →1,83)

11. Среднее число занятых каналов

М(к) = + = 1 · 0,27 + 2 · 0,225 + 2(0.186+0

159) = 1,728 канала (в предыдущем примере →1,098)

12. Средняя длина очереди

М (S) = = 1· 0,186 + 2· 0,159 = 0,504 автомобиля.

13. Среднее время ожидания в очереди

= = 0.12 часа.

14. Среднее время пребывания автомобиля в системе

= = 0,12 + 0,333 = 0,453 часа.

 

Из рассмотренных примеров наглядно видно, что эффективность системы повышается с увеличением числа каналов обслуживания и при наличии очереди. Однако, при этом повышаются и затраты на содержание системы.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...