 |
Задания для самостоятельного решения
|
|
|
|
Законы логики
Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления. В алгебре логики законы логики записываются в виде формул. Логические выражения называются равносильными, если их истинностные значения совпадают при любых значениях входящих в них логических переменных. Законы логики позволяют производить равносильные преобразования логических выражений.
| Закон двойного отрицания | A= (A) | |
| Переместительный (коммутативный) закон | - для логического сложения: А \/ B = B \/A - для логического умножения: А /\ B = B /\ A | |
| Сочетательный (ассоциативный) закон | - для логического сложения: (А \/ B) \/ C= A \/ (B \/ C) - для логического умножения: (А /\ B) /\ C= A /\ (B/\ C) | |
| Распределительный (дистрибутивный) закон | - для логического сложения: (А \/ B) /\ C= (A /\ C) \/ (B /\ C) - для логического умножения: (А /\ B) \/ C= (A \/ C) /\ (B \/ C) | |
| Закон общей инверсии (законы де Моргана) | - для логического сложения: (A\/B) = A /\ B - для логического умножения: (A/\B) = A \/ B | |
| Закон идемпотентности (равносильности) | - для логического сложения: A\/A = A - для логического умножения: A /\ A = A | |
| Законы исключения констант | - для логического сложения: A \/ 1 = 1; A \/ 0 = A - для логического умножения: A /\ 1 = A; A /\ 0 =0 | |
| Закон противоречия | A /\ A = 0 | |
| Закон исключения третьего | A \/ A =1 | |
| Закон поглощения | - для логического сложения: A \/ (A /\ B) =A - для логического умножения: A /\ (A \/ B) = A | |
| Закон исключения (склеивания) | - для логического сложения: (A /\ B) \/ (A /\ B) =B - для логического умножения: (A \/ B) /\ (A \/ B) =B | |
| Отрицание равенства | (AÙ B) Ú (AÙB) = (A º B) | |
| Представление импликации | A -> B = (A\/ B) | |
| Представление эквиваленции | (AÙ B) Ú (AÙB) = (A º B) | |
| Закон контрапозиции (правило перевёртывания) | (A <-> B) = (B <-> A) |
|
|
|
Задачи из вариантов ЕГЭ
1.Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, …x6, y1,y2,..y6, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 -> x2) /\ (x2 -> x3) /\ (x3 -> x4) /\ (x4 -> x5) /\ (x5 -> x6) =1
(y1 -> y2) /\ (y2 -> y3) /\ (y3 -> y4) /\ (y4 -> y5) /\ (y5 -> y6) =1,
где x1, x2, …x6, y1,y2,..y6 – логические переменные?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, …x6, y1,y2,..y6, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
1)Проанализируем первое уравнение:
(x1 -> x2) /\ (x2 -> x3) /\ (x3 -> x4) /\ (x4 -> x5) /\ (x5 -> x6) =1
Выражение слева от знака равенства представляет собой пять импликаций, между которыми стоит знак конъюнкции (логического умножения). Таким образом, это выражение равно 1 только в том случае, когда значение каждой импликации равно 1.
2)Если представить импликацию в общем виде как A -> B, то по таблице истинности она равна 1 в трёх случаях:
| А | В | A -> B |
3)Решение первого равенства можно оформить в виде таблицы
| X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | Результат |
Из анализа таблицы видно, что первое равенство имеет 7 решений.
4)Второе уравнение по структуре идентично первому и не содержит не одной общей с ним переменной. Следовательно, и второе уравнение имеет 7 решений. А так как общих переменных у двух уравнений нет, то на одно решение первого уравнения приходится 7 решений второго. Таким образом, система этих двух уравнений имеет 7*7=49 решений.
Ответ: 49
4.Сколько различных решений имеет уравнение:
(X1ÙX2) Ú (X1ÙX2) \/ (X3ÙX4) Ú (X3ÙX4) = 1
|
|
|
где x1, x2, x3, x10 – логические переменные. В ответе не нужно перечислять все интерпретации, достаточно указать их количество.
Решение:
1) количество комбинаций 4 логических переменных равно 2 4= 16,
2) заметим, что (X1ÙX2) Ú (X1ÙX2) = (X1 º X2),
где символ º означает операцию «эквивалентность» (значения равны);
3) кроме того,
(X3ÙX4) Ú (X3ÙX4) = (X3 Å X4) = (X3 º X4),
где символ Å означает операцию «исключающее ИЛИ» (значения НЕ равны); это операция, обратная эквивалентности
4) подставим полученные значения в исходное уравнение:
(X1 º X2) \/ (X3 º X4) = 1
Данное выражение представляет собой конъюнкцию двух скобок, то есть уравнение принимает ложное значение в тех случаях, когда x1 и x2 разные, а x3 и x4 одинаковые.
6) Нарисуем неполную таблицу истинности
| X1 | X2 | X3 | X4 | (X1 º X2) \/ (X3 º X4) |
7) Таким образом, если уравнение (X1 º X2) \/ (X3 º X4) =0 имеет
4 решения, то уравнение ( X1 º X2) \/ (X3 º X4) = 1 имеет 16 – 4 = 12 решений.
Ответ: 12 решений.
5. Сколько различных решений имеет система уравнений:
((X1 º X2) Ù (X3 º X4)) Ú ((X1 º X2) Ù (X3 º X4)) = 1
((X3 º X4) Ù (X5 º X6)) Ú ((X3 º X4) Ù (X5 º X6)) = 1
((X5 º X6) Ù (X7 º X8)) Ú ((X5 º X6) Ù (X7 º X8)) = 1
((X7 º X8) Ù (X9 º X10)) Ú ((X7 º X8) Ù (X9 º X10)) = 1
де x1, x2, x3, …x10 – логические переменные. В ответе не нужно перечислять все интерпретации, достаточно указать их количество.
Решение:
1) Проанализируем первое уравнение:
((X1 º X2) Ù (X3 º X4)) Ú ((X1 º X2) Ù (X3 º X4)) = 1
Это уравнение имеет значение 1 в тех случаях, когда хотя бы одно из выражений ((X1 º X2) Ù (X3 º X4)) или ((X1 º X2) Ù (X3 º X4)) равно 1.
Очевидно, что оба этих выражения одновременно не могут равняться 1. Следовательно, если выражение ((X1 º X2) Ù (X3 º X4))=1, то выражение ((X1ºX2) Ù (X3ºX4)) =0 и наоборот
2) Составим неполную таблицу истинности для выражения F, где F:= ((X1 º X2) Ù (X3 º X4)) Ú ((X1 º X2) Ù (X3 º X4))
| x1 | X2 | X3 | X4 | F |
|
|
|
Таким образом, первое уравнение имеет 8 решений
3) Добавим к решению первого уравнения решение второго:
| x1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | F |
Таким образом, система двух уравнений имеет 16 решений
4) Далее очевидно, что каждое следующее уравнение удваивает число решений системы. Следовательно, три уравнения имеют 32 решения, а 4 уравнения имеют 64 решения.
Ответ: 64 решения
Задания для самостоятельного решения
1) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | F |
Какое выражение соответствует F?
1) x1 Ù x2 Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7
2) x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7
3) x1 Ù x2 Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7
4) x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7
2) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | F |
Какое выражение соответствует F?
1) x1 Ù x2 Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7
2) x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7
3) x1 Ù x2 Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7
4) x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7
3) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | F |
Какое выражение может соответствовать F?
1) x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 Ú x5
2) x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 Ú x5
3) x1 Ù x2 Ù x3 Ù x4 Ù x5
4) x1 Ù x2 Ù x3 Ù x4 Ù x5
4) Для какого слова истинно высказывание:
(Вторая буква согласная Ú Последняя буква гласная) → Первая буква гласная?
|
|
|
1) ГОРЕ 2) ПРИВЕТ 3) КРЕСЛО 4) ЗАКОН
5) Для какого имени истинно высказывание:
Первая буква согласная Ù (Вторая буква согласная → Четвертая буква гласная)?
1) ИВАН 2) ПЕТР 3) ПАВЕЛ 4) ЕЛЕНА
6) Для какого числа X истинно высказывание
((X < 4) →(X < 3)) Ù ((X < 3) →(X < 1))
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
7) Сколько различных решений имеет уравнение
((K → L) Ù (M → N) → K) Ù (L → M) = 1
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.
8) Сколько различных решений имеет уравнение
(J → L) Ù (K → L) Ù (M → N) Ù (L → M) Ù (M → K) = 1
где J, K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.
9) Сколько различных решений имеет система уравнений
((X1 º X2) Ù (X3 º X4)) Ú ((X1 º X2) Ù (X3 º X4)) = 0
((X3 º X4) Ù (X5 º X6)) Ú ((X3 º X4) Ù (X5 º X6)) = 0
((X5 º X6) Ù (X7 º X8)) Ú ((X5 º X6) Ù (X7 º X8)) = 0
((X7 º X8) Ù (X9 º X10)) Ú ((X7 º X8) Ù (X9 º X10)) = 0
где x1, x2, …, x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
10) Сколько различных решений имеет система уравнений
(X1 Ù X2) Ú (X1 Ù X2) Ú (X1 º X3) = 1
(X2 Ù X3) Ú (X2 Ù X3) Ú (X2 º X4) = 1
...
(X7 Ù X8) Ú (X7 Ù X8) Ú (X7 º X9) = 1
(X8 Ù X9) Ú (X8 Ù X9) Ú (X8 º X10) = 0
где x1, x2, …, x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
11) Сколько различных решений имеет система уравнений
(X1 Ù X2) Ú (X1 Ù X2) Ú (X2 Ù X3) Ú (X2 Ù X3) = 1
(X2 Ù X3) Ú (X2 Ù X3) Ú (X3 Ù X4) Ú (X3 Ù X4) = 1
...
(X7 Ù X8) Ú (X7 Ù X8) Ú (X8 Ù X9) Ú (X8 Ù X9) = 1
(X8 Ù X9) Ú (X8 Ù X9) Ú (X9 Ù X10) Ú (X9 Ù X10) = 0
где x1, x2, …, x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
12) Сколько различных решений имеет система уравнений
(X1 º X2) Ú (X1 Ù X10) Ú (X1 Ù X10)= 1
(X2 º X3) Ú (X2 Ù X10) Ú (X2 Ù X10)= 1
...
(X9 º X10) Ú (X9 Ù X10) Ú (X9 Ù X10)= 1
(X1 º X10) = 0
где x1, x2, …, x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
|
|
|
13) Сколько различных решений имеет система уравнений
((X1 º X2) Ú (X3 º X4)) Ù ((X1 º X2) Ú (X3 º X4)) = 1
((X3 º X4) Ú (X5 º X6)) Ù ((X3 º X4) Ú (X5 º X6)) = 1
((X5 º X6) Ú (X7 º X8)) Ù ((X5 º X6) Ú (X7 º X8)) = 1
((X7 º X8) Ú (X9 º X10)) Ù ((X7 º X8) Ú (X9 º X10)) = 1
где x1, x2, …, x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
14) Сколько различных решений имеет система уравнений
(X1 º X2) Ù (X2 º X3) = 1
(X2 º X3) Ù (X3 º X4) = 1
...
(X8 º X9) Ù (X9 º X10) = 1
где x1, x2, …, x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
15) Сколько различных решений имеет логическое уравнение
(X1 Ú X2) Ù(X2 Ú X3) Ù(X3 Ú X4) Ù(X4 Ú X5) Ù(X5 Ú X6)= 1
где x1, x2, …, x6 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
16) Сколько различных решений имеет система уравнений
(X1 Ù X2 Ù X3) Ú (X1 Ù X2 Ù X3) Ú (X1 Ù X2 Ù X3) = 1
(X2 Ù X3 Ù X4) Ú (X2 Ù X3 Ù X4) Ú (X2 Ù X3 Ù X4) = 1
...
(X7 Ù X8 Ù X9) Ú (X7 Ù X8 Ù X9) Ú (X7 Ù X8 Ù X9) = 1
где x1, x2, …, x9 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
17) Сколько различных решений имеет система уравнений?
(x1 ® x2)Ù(x2 ® x3)Ù(x3 ® x4)Ù(x4 ® x5) = 1
(у1 ® у2)Ù(у2 ® у3)Ù(у3 ® у4)Ù(у4 ® у5) = 1
x1 Ú у1 = 1
где x1,x2,…,x5, у1,у2,…,у5 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
18) Сколько различных решений имеет система уравнений?
(Øx1 ® x2)Ù(Øx2 ® x3)Ù(Øx3 ® x4)Ù(Øx4 ® x5) = 1
(Øу1 ® у2)Ù(Øу2 ® у3)Ù(Øу3 ® у4)Ù(Øу4 ® у5)= 1
x1 Ú у1 = 0
где x1,x2,…,x5, у1,у2,…,у5 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
19) Сколько различных решений имеет система уравнений?
(Øx1 ® Øx2)Ù(x2 ® x3)Ù(Øx3 ® Øx4)Ù(x4 ® x5)=1
(Øу1 ® Øу2)Ù(у2 ® у3)Ù(Øу3 ® Øу4)Ù(у4 ® у5)=1
x1 Ù у1 = 1
где x1,x2,…,x5, у1,у2,…,у5 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
20) Сколько различных решений имеет система уравнений?
(x1 ® x2) Ù (x2 ® x3) Ù (x3 ® x4) Ù (x4 ® x5)=1
(у1 ® у2) Ù (у2 ® у3) Ù (у3 ® у4) Ù (у4 ® у5)=1
x5 Ù у5 = 0
где x1,x2,…,x5, у1,у2,…,у5 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
21) Сколько различных решений имеет система уравнений?
x1 Ú Øx2 Ú Øx3 Ù x4 = 1
x3 Ú Øx4 Ú Øx5 Ù x6 = 1
x5 Ú Øx6 Ú Øx7 Ù x8 = 1
x7 Ú Øx8 Ú Øx9 Ù x10 = 1
где x1,x2,…,x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
22) Сколько различных решений имеет система уравнений?
(x1 ® x2) Ú x3 Ù Øx4 = 1
(x3 ® x4) Ú x5 Ù Øx6 = 1
(x5 ® x6) Ú x7 Ù Øx8 = 1
(x7 ® x8) Ú x9 Ù Øx10 = 1
(x9 ® x10) Ú x1 Ù Øx2 = 1
где x1,x2,…,x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
З. Ы. Спасибо, что дочитали до конца!
The fcё!
|
|
|
