 |
Координаты вектора на плоскости и в пространстве.
|
|
|
|
Вектор. Основные понятия.
Вектор – направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий длину и определенное направление. Если 
– начало вектора, 
– его конец, то такой вектор обозначается как 
, или 
. Вектор 
с началом в точке и концом в точке называется противоположным вектору и обозначается как 
, или 
.
Длиной или модулем вектора называется длина отрезка 
и обозначается 
.
Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается как 
. Считается, что он не имеет направления.
Вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором и обозначается как 
.
Векторы и 
называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это обозначается как 
.
Линейные операции над векторами. Свойства линейных операций.
К линейным относятся операции сложения векторов и умножение вектора на число.
Суммой векторов 
и 
называется вектор, полученный по правилу сложения векторов:
А) если совместить начала векторов, то суммой будет вектор, начало которого совпадает с началами векторов, а конечная точка- противоположная вершина параллелограмма, сторонами которого будут и ;
В) если совместить начало второго вектора и конечную точку первого, то сумма – вектор, начало которого совпадает с начальной точкой первого вектора, а конечная – с конечной точкой второго.
Суммой конечного числа векторов служит замыкающий вектор:
Вектор 
называется противоположным вектору , если их длины совпадают, а направления противоположны.
Разностью векторов и называется вектор 
, который является суммой векторов и - . Вектор направлен к концу вектора , если и приведены к одному началу.
|
|
|
Произведением вектора на число 
называется вектор 
, для которого:
1) длина в раз больше: 
2) направления совпадают, если 
и противоположны, если 
Для любого ненулевого вектора 
можно определить орт вектора:
Введенные операции называются линейными и обладают рядом свойств:
1) Сложение векторов коммутативно: 
2) Сложение векторов ассоциативно: 
3) 
4) 
5) Умножение вектора на число ассоциативно: 
Проекция вектора на ось.
Числовой осью называют прямую, на которой определено:
1. направление (→);
2. начало отсчета (точка О);
3. отрезок, который принимают за единицу масштаба
4. 
.
Проекцией вектора на ось называется длина отрезка 
этой оси, который расположен между основаниями проекций начала и конца вектора на ось. Она берется со знаком плюс, если направление отрезка совпадает с направлением оси проекций, и со знаком минус, если эти направления противоположны. Обозначение: 
.
Углом между вектором и осью называется угол 
, на который необходимо кратчайшим образом повернуть ось, чтобы она совпадала с направлением вектора.
Свойства проекций:
- равные векторы имеют равные проекции;
- при умножении вектора на число
его проекция на ось также умножается на то же число;
- проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций этих векторов.
Координаты вектора на плоскости и в пространстве.
Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы 
и 
:
Векторы и ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны.
Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.
Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.
|
|
|
Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: 
. Координатные векторы нельзя переставлять местами.
Любой вектор 
плоскости единственным образом выражается в виде:
, где 
– числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение называется разложением вектора по базису .
Ортонормированный базис 
трехмерного пространства и прямоугольная система координат, единичные векторы 
данного базиса попарно ортогональны: 
и 
. Ось 
наклонена под углом 45 градусов только для того, чтобы складывалось визуальное впечатление пространства. Любой вектор 
трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису :
, где 
– координаты вектора 
(числа) в данном базисе.
Пример с картинки: 
.
|
|
|
