 |
Контрольная работа №2.
|
|
|
|
Контрольная работа №1.
1 - 20. Даны векторы а (а1; а2; а3), b (b1; b2; b3), с (с1; с2; с3) и d (d1; d2; d3) в некотором базисе. Показать, что векторы а, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
1. а (1;2;3), b (-1;3;2), с (7;-3;5), d (6;10;17).
2. а (4;7;8), b (9;1;3), с (2;-4;1), d (1;-13;-13).
3. а (8;2;3), b (4;6;10), с (3;-2;1), d (7;4;11).
4. а (10;3;1), b (1;4;2), с (3;9;2), d (19;30;7).
5. а (2;4;1), b (1;3;6), с (5;3;1), d (24;20;6).
6. а (1;7;3), b (3;4;2), с (4;8;5), d (7;32;14).
7. а (1;-2;3), b (4;7;2), с (6;4;2), d (14;18;6).
8. а (1;4;3), b (6;8;5), с (3;1;4), d (21;18;33).
9. а (2;7;3), b (3;1;8), c (2;-7;4), d (16;14;27).
10. а (7;2;1), b (4;3;5), с (3;4;-2), d (2;-5;-13)
11. а (4;1;0) b (0; 1; -2) с (3;-1;1), d (-5; 9; -13)
12. а (-1;1;0) b (0; 5; 1) с (3;2;-1), d (-15; 5; 6)
13. а (1;3;0) b (1; 0; 1) с (0;-2;1), d (8; 9; 4)
14. а (2; 1; 0) b (1; -1; 0) с (-3;2;5), d (23; -14; -30)
15. а (2; 1; 0) b (1; 0; 1) с (4;2;1), d (3; 1; 3)
16. а (0; 3; 1) b (1; -1; 2) с (2;-1;0), d (-1; 7; 0)
17. а (1; -1; 2) b (3; 2; 0) с (-1;1;1), d (11; -1; 4)
18. а (1; 1; 4) b (-3; 0; 2) с (1;2;-1), d (-13; 2; 18)
19. а (0; -2; 1) b (3; 1; -1) с (4;0;1), d (0; -8; 9)
20. а (0; 1; 5) b (3; -1; 2) с (-1;0;1), d (8; -7; -13)
21 - 40. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребром А1А2 и А1А4; 3) угол между ребрами А1А4 и гранью А1А2А3; 4)площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж.
21. А1 (4;2;5), А2 (0;7;2), А3 (0;2;7), А4 (1;5;0).
22. А1 (4;4;10), А2 (4;10;2), А3 (2;8;4), А4 (9;6;4).
23. А1 (4;6;5), А2 (6;9;4), А3 (2;10;10), А4 (7;5;9).
24. А1 (3;5;4), А2 (8;7;4), А3 (5;10;4), А4 (4;7;8).
25. А1 (10;6;6), А2 (-2;8;2), А3 (6;8;9), А4 (7;10;3).
26. А1 (1;8;2), А2 (5;2;6), А3 (5;7;4), А4 (4;10;9).
27. А1 (6;6;5), А2 (4;9;5), А3 (4;6;11), А4 (6;9;3).
28. А1 (7;2;2), А2 (5;7;7), А3 (5;3;1), А4 (2;3;7).
29. А1 (8;6;4), А2 (10;5;5), А3 (5;6;8), А4 (8;10;7).
30. А1 (7;7;3), А2 (6;5;8), А3 (3;5;8), А4 (8;4;1).
31. А1 (1;3;6), А2 (2;2;1), А3 (-1;0;1), А4 (-4;6;-3).
32. А1 (-4;2;6), А2 (2;-3;0), А3 (-10;5;8), А4 (-5;2;-4).
33. А1 (7;2;4), А2 (7;-1;-2), А3 (3;3;1), А4 (-4;2;1).
34. А1 (2;1;4), А2 (-1;5;-2), А3 (-7;-3;2), А4 (-6;-3;6).
35. А1 (-1;-5;2), А2 (-6;0;-3), А3 (3;6;-3), А4 (-10;6;7).
36. А1 (0;-1;-1), А2 (-2;3;5), А3 (1;-5;-9), А4 (-1;-6;3).
|
|
|
37. А1 (5;2;0), А2 (2;5;0), А3 (1;2;4), А4 (-1;1;1).
38. А1 (2;-1;-2), А2 (1;2;1), А3 (5;0;-6), А4 (-10;9;-7).
39. А1 (-2;0;-4), А2 (-1;7;1), А3 (4;-8;-4), А4 (1;-4;6).
40. А1 (14;4;5), А2 (-5;-3;2), А3 (-2;-6;-3), А4 (-2;2;-1).
41 - 60. Дана система линейных уравнений:
Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) методом Крамера.
41. 
42. 
43. 
44. 
45. 
46. 
47. 
48. 
49. 
50. 
51. 
52. 
53. 
54. 
55. 
56. 
57. 
58. 
59. 
60. 
61 - 80. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
| 61. | а) 
| б) 
|
в) 
| г)
| |
| 62. | а) 
| б) 
|
в) 
| г) 
| |
| 63. | а) 
| б) 
|
в) 
| г) 
| |
| 64. | а) 
| б) 
|
в) 
| г) 
| |
| 65. | а) 
| б) 
|
в) 
| г) 
| |
| 66. | а) 
| б) 
|
в) 
| г) 
| |
| 67. | а) 
| б) 
|
в) 
| г) 
| |
| 68. | а) 
| б) 
|
в) 
| г) 
| |
| 69. | а) 
| б) 
|
в) 
| г) 
| |
| 70. | а) 
| б) 
|
в) 
| г) 
| |
| 71. | а) 
| б) 
|
в) 
| г) 
| |
| 72. | а) 
| б) 
|
в) 
| г) 
| |
| 73. | а) 
| б) 
|
в) 
| г) 
| |
а) 
| б) 
| |
в) 
| г) 
| |
| 75. | а) 
| б) 
|
в) 
| г) 
| |
| 76. | а) 
| б) 
|
в) 
| г) 
| |
| 77. | а) 
| б) 
|
в) 
| г) 
| |
| 78. | а) 
| б) 
|
в) 
| г) 
| |
| 79. | а) 
| б) 
|
в) 
| г) 
| |
| 80. | а) 
| б) 
|
в) 
| г) 
|
81 – 100. Найти производные 
данных функций.
| 81. | 
| 82. | 
|
| 83. | 
| 84. | 
|
| 85. | 
| 86. | 
|
| 87. | 
| 88. | 
|
| 89. | 
| 90. | 
|
| 91. | 
| 92. | 
|
| 93. | 
| 94. | 
|
| 95. | 
| 96. | 
|
| 97. | 
| 98. | 
|
| 99. | 
| 100. | 
|
101 - 120. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.
101. у = 4х/(4+х2) 102. y = (x2-1)/(x2 +1)
103. y = (x2+1)/(x2-1) 104. y = x2/(x-1)
105. y = x3/(x2+1) 106. y = (4x3+5)/x
107. y = (x2-5)/(x-3) 108. y = x4/(x3-1)
109. y = 4x3/(x3-1) 110. y = (2-4x2)/(1-4x2)
111. y = (1nx)/ 
112. y = x 
113. y = 
114. y = x2-21nx
115. y = 1n (x2-4) 116. y = e1/(2-x)
117. y = 1n (x2+1) 118. y = (2+x2) 
119. y = 1n (9-x2) 120. y = (x-1)e3x+1.
121 - 140. Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах а) и б) проверить результаты дифференцированием.
121. 
122. 
123. 
124. 
;
125. 
;
126. 
127. 
128. 
129. 
130. 
131.
132. 
133.
134. 
135. 
;
136.
137. 
138. 
139. 
140. 
141. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = 3х2 + 1 и
прямой у = 3х + 7.
142. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоды
х = а(t - sin t), y = a(1 - cos t), 
и осью Ох.
143. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
|
|
|
r = 3(1 + cos φ).
144. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой
r = 4sin 2φ.
145. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами у = х2 и у = 
.
146. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной полуэллипсом у = 
, параболой х = 
и осью Оу.
147. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми у = 2/(1 + х2)4 и у = х2.
148. Вычислить длину дуги полукубической параболы у = 
от точки А (2;0) до точки В (6;8).
149. Вычислить длину кардиоиды r = 3(1 - cosφ).
150. Вычислить длину одной арки циклоиды х = 3(t - sint), y = 3(1 - cost), 
.
151. Вычислить длину дуги 
152.. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченных графиками функций 
. Ось вращения 
153. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций. 
154. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.
155. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах. 
156.. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями 
157.. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями в полярных координатах 
158. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций 
. Ось вращения
159. Вычислить длину дуги 
160. Вычислить длину дуги 
Контрольная работа №2.
161 - 180. Найти общее решение дифференциального уравнения.
161. 
162. 
163. 
164. 
165. 
166. 
167. 
168. 
169. 
170. 
171. 
172. 
173. 
174. 
175. 
176. 
177. 
178. 
179. 
180. 
В задачах 181 - 200 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
181. у΄΄- еуу΄= 0, у(0) = 0, у΄(0) = 1.
182. у΄у΄΄= 2у, у(0) = 0, у΄(0) = 0.
183. уу΄΄= (у΄)2, у(0) = 1, у΄(0) = 3.
184. у3у΄΄= 3, у(1) = 1, у΄(1) = 1.
185. у΄΄-12у2= 0, у(0) =1/2, у΄(0) = 1.
186. 2у΄΄=е4у, у(0) = 0, у΄(0) = ½.
187. (у – 2)у΄΄ = 2(у΄)2, у(0) = 3, у΄(0) = 1.
188. 2уу΄΄= 3 + (у΄)2, у(1) = 1, у΄(1) = 1.
189. у΄΄= 
у(2) = 0, у΄(2) = 2.
190. (у + 1)2у΄΄= (у΄)3, у΄(0) = 1.
191. 
192. 
193. 
194. 
195. 
196. 
197. 
198. 
199. 
200. 
201 - 220. Найти частное решение дифференциального уравнения 
, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=у0, 
201. 
|
|
|
202. 
203. 
204. 
205. 
206. 
207. 
208. 
209. 
210. 
211. y΄΄-2y΄-8y=16x2+2, y(0)=0, y΄(0)=5.
212. y΄΄+4y=3cos x, y(0)=1, y΄(0)=2.
213. y΄΄-y΄-2y=3e2x, y(0)=2, y΄(0)=5.
214. y΄΄-2y΄=2x+1, y(0)=1, y΄(0)=1.
215. y΄΄-2y΄+y=9e-2x+2x-4, y(0)=1, y΄(0)=1.
216. y΄΄-4y=4sin 2x, y(0)=2, y΄(0)=7.
217. y΄΄+y΄=3cos x – sin x, y(0)=0, y΄(0)=1.
218. y΄΄-y΄-6y=6x2-4x-3, y(0)=3, y΄(0)=5.
219. y΄΄-3y΄=3e3x, y(0)=2, y΄(0)=4.
220. y΄΄-4y΄+5y=5x – 4, y(0)=0, y΄(0)=3.
221. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами 
и 
.
222. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом x = acos t, y = bsint.
223. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой x = 4cos3t, y = 4sin3t.
224. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой 
, х = 4 и осью Ох.
225. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной гиперболой у = 6/х, осью Оу и прямыми у = 1 и у = 6.
226. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох эллипса
х = аcost, y = bsint.
227. Найти длину дуги кривой 
от х1 = 0 до х2 = 12.
228. Найти длину дуги кривой у = lnx от х1= ¾ до х2 = 2,4.
229. Найти длину одной арки циклоиды х = а(t - sint), y = a(1-cost).
230. Найти длину кардиоиды r = 2a(1-cosφ).
231 – 240. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
231. 
232. 
233. 
234. 
235. 
236. 
237. 
238. 
239. 
240. 
241 - 260. Исследовать сходимость числового ряда.
241. 
242. 
243. 
244. 
245. 
246. 
247. 
248. 
249. 
250. 
251. 
. 252. 
.
253. 
. 254. 
.
255. 
256. 
.
257. 
. 258. 
.
259. 
. 260. 
261 - 280. Найти интервал сходимости степенного ряда.
261. 
262. 
263. 
264. 
265. 
266. 
267. 
268. 
269. 
270. 
271. 
. 272. 
.
273. 
. 274. 
.
275. 
. 276. 
.
277. 
. 278. 
.
279. 
. 280. 
.
281 - 300. Вычислить определенный интеграл 
с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно.
281. 
282 
283. 
284. 
285. 
286. 
287. 
288. 
289. 
290. 
291. 
. 292. 
.
293. 
. 294. 
.
295. 
. 296. 
.
297. 
298. 
.
299. 
. 300. 
.
301. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что: а) студент знает все три вопроса; б) только два вопроса; в) только один вопрос экзаменационного билета.
302. В каждой из двух урн находятся 5 белых и 10 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили неудачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется черным.
|
|
|
303. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях производили по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попадает в цель; б) только два стрелка попадут в цель; в) все три стрелка попадут в цель.
304. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие наступит 1200 раз.
305. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе – 0,95, третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устойство; б) только два устройства; в) все три устройства.
306. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит 5 раз.
307. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий, наудачу взятых из этой партии, ровно три окажутся дефектными.
308. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 125 испытаниях событие наступит не менее 75 и не более 90 раз.
309. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют детали одного наименования. На первом станке изготовляют 10%, на втором – 30, на третьем – 60% всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0,7, если она изготовлена на первом станке, 0,8, - если на втором станке, и 0,9, - если на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.
310. Два брата входят в состав двух спортивных команд, состоящих из 12 человек каждая. В двух урнах имеются по 12 билетов с номерами от 1до 12. Члены каждой команды вынимают наудачу по одному билету из определенной урны (без возвращения). Найти вероятность того, что оба брата вытащат билет номер 6.
311. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что в данный момент включен равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент:
а) включено 4 мотора;
б) выключены все моторы;
в) включены все моторы;
г) включен хотя бы один мотор.
312. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет:
а) 3 раза;
б) не менее 3-х раз;
в) не более 3-х раз;
г) хотя бы 1 раз.
313. Для прядения смешивают поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность того, что среди 5 случайно выбранных волокон обнаружится:
|
|
|
а) ровно 2 окрашенных;
б) менее 2 окрашенных;
в) более 2 окрашенных;
г) хотя бы 4 окрашенных.
314. Средний процент нарушения кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равен 12. Вычислить вероятность того, что из 10 наблюдаемых телевизоров гарантийный срок выдержат:
а) 8 телевизоров;
б) не менее 8 телевизоров;
в) хотя бы 1 телевизор.
315. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней дождливыми окажутся:
а) ровно 3 дня;
б) не более 3-х дней;
в) хотя бы 1 день.
316. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов равно 5000.
317. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят:
а) 5 абонентов;
б) хотя бы 1 абонент.
318. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Какова вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на:
а) 5 веретенах;
б) не менее, чем на 1 веретене.
319. Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не более 2-х.
320. Семена пшеницы содержат 0,3% сорняков. Найти вероятность того, что в 1000 семян будет:
а) ровно 5;
б) хотя бы 2 сорняка.
321 - 340. Задан закон распределения случайной величины X – размер деталей, выпускаемых заводом (в первой строке таблицы даны возможные значения измеренной детали, а во второй строке указаны вероятности p этих возможных значений).
Найти: 1) математическое ожидание M(X); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение 
.
| 321. | X | ||||
| P | 0.3 | 0.2 | 0.4 | 0.1 | |
| 322. | X | ||||
| P | 0.2 | 0.4 | 0.3 | 0.1 | |
| 323. | X | ||||
| P | 0.2 | 0.2 | 0.5 | 0.1 | |
| 324. | X | ||||
| P | 0.1 | 0.5 | 0.3 | 0.1 | |
| 325. | X | ||||
| P | 0.2 | 0.4 | 0.3 | 0.1 | |
| 326. | X | ||||
| P | 0.1 | 0.5 | 0.2 | 0.2 | |
| 327. | X | ||||
| P | 0.1 | 0.2 | 0.5 | 0.2 | |
| 328. | X | ||||
| P | 0.1 | 0.4 | 0.2 | 0.3 | |
| 329. | X | ||||
| P | 0.1 | 0.3 | 0.4 | 0.2 | |
| 330. | X | ||||
| P | 0.2 | 0.4 | 0.3 | 0.1 | |
| 331. | X | ||||
| P | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,4 | |
| 332. | X | ||||
| P | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 | |
| 333. | X | ||||
| P | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,4 | |
| 334. | X | ||||
| P | 0,2 | 0,1 | 0,5 | 0,2 | |
| 335. | X | ||||
| P | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,3 | |
| 336. | X | ||||
| P | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 | |
| 337. | X | ||||
| P | 0,3 | 0,5 | 0,1 | 0,1 | |
| 338. | X | ||||
| P | 0,1 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | |
| 339. | X | ||||
| P | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,5 | |
| 340. | X | ||||
| P | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,4 |
|
|
|
