Интеграл сходится, поэтому сходится и данный ряд.
МАТЕМАТИКА
Часть третья
Учебно-методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов-заочников второго курса высшего профессионального образования
Краснодар УДК
Составители: доцент Терещенко И.В., доцент Братчиков А.В., ассистент Сычева В.Е.
Математика. Учебно – методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов-заочников специальностей 140211,140101,130503 факультета НГиЭ высшего профессионального образования. – Краснодар 2006. – 25 с.
В учебно-методических указаниях изложены программа дисциплины, варианты контрольных заданий, темы практических занятий, вопросы к зачету (или экзамену), рекомендуемая литература, приведены примеры выполнения и требования к оформлению контрольных работ.
Печатается по решению методического совета Кубанского государственного технологического университета.
Рецензенты: д-р техн. наук, профессор Вартумян Г.Т. канд. техн. наук, доцент Данович Л.М.
© КубГТУ, 2006 Содержание
Введение ……………………………………………………………………………….….4 1. Инструкция по работе с учебно-методическими указаниями………………….……4 2. Программа дисциплины………………………………………………………….…….5 3. Контрольные работы…………………………………………………………………...6 4. Задания на контрольную работу……………………...……………………………...17 5. Содержание и оформление контрольных работ…………………………………….23 6. Темы практических занятий………………………………………………………….24 7. Вопрос подготовки к экзамену (зачету)………….………………………………….24 8. Список рекомендуемой литературы…………………………………………………25
Введение Инженер должен в области математики иметь представление: - о математике как особом способе познания мира, общности ее понятий и представлений; - о математическом моделировании; - об информации, методах ее хранения, разработки и передачи; знать и уметь использовать: - основные понятия и методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей и математической статистики, дискретной математики; - математические модели простейших систем и процессов в естествознании и технике; - вероятностные модели для конкретных процессов и проводить расчеты в рамках построенной модели; иметь опыт: - употребления математической символики для выражения количественных и качественных отношений объектов; - исследования моделей с учетом их иерархической структуры и оценки пределов применимости полученных результатов: - использования основных приемов обработки экспериментальных данных; - аналитического и численного решения алгебраических уравнений; - исследования, аналитического и численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений; - аналитического и численного решения основных уравнений математической физики; - программирования и использования возможностей вычислительной техники и программного обеспечения; Цель курса «Математика»: - дать студентам необходимую математическую подготовку для изучения общенаучных, общеинженерных и специальных дисциплин; - привить студентам навыки логического и алгоритмического мышления; - овладеть методами исследования и решения математических и прикладных задач по специальности; - выработать умения самостоятельно расширять математические знания и применять их при анализе инженерных задач. Инструкция по работе с учебно–методическими указаниями.
В разделе «Программа дисциплины» приведены темы и указывается, что необходимо знать в пределах каждой темы. В конце тем приводятся вопросы для самопроверки и литература из списка рекомендуемой литературы с указанием глав, страниц, где излагается материал темы. Пример. Литература: [3, гл.13 c. 3-9], [4, c. 143-162], где 2 и 4 – порядковые номера литературных источников из списка рекомендуемой литературы. Вариант контрольного задания выбирается по последней цифре шифра зачётной книжки. Последняя цифра шифра (0) соответствует 10 варианту в контрольном задании. Например, в 10 варианте выполняют следующие номера из предложенных заданий контрольной работы: 310,320,330 и так далее. В разделе «Темы практических занятий» приводятся наименования практических занятий, которые будут проводиться в период экзаменационной сессии, и указывается литература для подготовки. Программа дисциплины. Тема 6. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ. Двойной интеграл. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов. Замена переменных в двойном интеграле. Тройной интеграл. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов. Криволинейный интеграл. Вычисление криволинейного интеграла. Поверхностный интеграл. Вычисление поверхностного интеграла. Формула Стокса. Формула Остроградского. Скалярное и векторное поля. Задача о потоке векторного поля.
Литература: [4 гл. 13, с. 307-368)]
Вопросы для самоконтроля. 1. Вычисление двойного интеграла. 2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. 3. Вычисление тройного интеграла. 4. Вычисление площадей с помощью с помощью двойных интегралов. 5. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов. 6. Вычисление криволинейного интеграла. 7. Вычисление поверхностного интеграла.
Тема 7. Ряды. Применение степенных рядов к приближенному вычислению значений функций, интегралов, решения дифференциальных уравнений. Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Степенные ряды. Применение степенных рядов к приближенному вычислению значений функций, интегралов, решения дифференциальных уравнений. Ряды Фурье.
Литература: [4, гл. 14 с. 379-416]. Вопросы для самоконтроля. 1. Исследование сходимости числового ряда. 2. Исследование на абсолютную и условную сходимость знакочередующегося ряда. 3. Нахождение интервала сходимости степенного ряда. 4. Приближенные вычисления значений функции с помощью степенных рядов. 5. Применение степенных рядов к вычислению определенных интегралов. 6. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. 7. Разложение функций в ряды Фурье. Контрольные работы. Программой дисциплины «Математика» для студентов II курса предусмотрено выполнение контрольных работ № 4,5. 3.1. При выполнении контрольной работы № 4 необходимо изучить следующие вопросы: двойной интеграл, вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов, замена переменных в двойном интеграле, тройной интеграл, вычисление объемов с помощью тройных интегралов, криволинейный интеграл, вычисление криволинейного интеграла, вычисление поверхностного интеграла, формула Стокса, Остроградского; скалярное и векторное поля, задача о потоке векторного поля. Ниже приведены примеры выполнения расчетов.
К заданиям 331-340. Пример. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями D: y=-x2 +1, x=0, y=0. Решение. Построим область D. График функции y=-x2 +1 представляет собой параболу с вершиной в точке (0;1), симметричную относительно оси OY; x=0 – прямая, совпадающая с осью OY; y=0 - прямая, совпадающая с осью OX
Для вычисления двойного интеграла воспользуемся формулой
Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми х=0, х=1, снизу y=0 и сверху y=-x2+1
Ответ: К заданиям 341-350. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнениями в декартовых координатах (а>0) Решение: Преобразуем уравнение кривой к полярным координатам Положим , В результате получим
Очевидно, что изменению полярного угла от 0 до соответствует четверть искомой площади. Изобразим полученную кривую на чертеже.
Следовательно, Ответ: 4 К заданиям 351-360. Пример.Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями , , , . Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость XOY
Решение. - параболоиды вращения - цилиндрические поверхности
Наше тело представляет собой «параболический башмачок», который вырезают цилиндрические поверхности и между параболоидами вращения. Снизу «башмачок» ограничен куском поверхности , а сверху куском поверхности параболоида вращения Проекция этого тела на плоскость XOY дает множество, состоящее из точек (x,y), координаты которых удовлетворяют неравенствам ( - + - )=
Ответ:
К заданиям 361-370. Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги окружности x=cost, y=sint, обходя ее против хода часовой стрелки от точки А(1;0) до точки В(0;1). Сделать чертеж.
Решение. L – дуга окружности x=cost y=sint, R=1. Изобразим на чертеже дугу окружности по которой вычисляем интеграл. Так как кривая задана в параметрическом виде x=x(t) y=y(t) (), то криволинейный интеграл II рода сводится к определенному интегралу по формуле
Найдем
Тогда Ответ: Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл если L – контур треугольника с вершинами А(1;2), В(3;1), С(2;5) пробегаемый против хода часовой стрелки. Решение.Составим уравнение прямых АВ, ВС, СА и изобразим контур интегрирования на чертеже.
АВ: ВС:
СA:
Следовательно,
Получаем, Ответ: 3,5
К заданиям 371-380. Пример. Даны векторное поле и плоскость x+4y+z-4=0 (p), которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Пусть - основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р); - контур, ограничивающий ; –нормаль к , направленная вне пирамиды V. Требуется вычислить: 1) поток векторного поля через поверхность в направлении нормали ; 2) циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру и ограниченной им замкнутой поверхности с нормалью; 3) поток векторного поля через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к ее поверхности, применив теорему Остроградского.
Решение: 1) Поток векторного поля через поверхность S в сторону, определяемую единичным вектором нормали к поверхности S, вычисляется по формуле П= где -скалярное произведение вектора поля и единичного вектора, выбранного направления, а
Для данного векторного поля и по определению потока получаем
Ответ: 2) циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру и ограниченной им замкнутой поверхности с нормалью вычисляем по формуле Стокса Ц= , где С – контур , проходящей через три данные точки, . Замкнутый контур представляет собой треугольник с вершинами М(4;0;0), N(0;1;0), P(0;0;4)
Найдем ротор данного векторного поля. = - + Следовательно, dS= + Ответ: 14.
3) Для вычисления потока векторного поля через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к ее поверхности применим формулу Остроградского . Согласно определению, имеем . Ответ: К заданиям 381-390. Пример. Проверить является ли векторное поле потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал. Решение. Векторное поле (М) называется потенциальным, если rot =0. Вычислим rot .
= - - + Следовательно, данное векторное поле является потенциальным. Потенциал u=u(x,y) вычислим по формуле то есть, Здесь в качестве начальной точки взята точка М0(0;0). Векторное поле (М) называется соленоидальным, если div =0. Вычислим div . Согласно определению, имеем Ответ: поле является потенциальным, = ; поле не является соленоидальным.
3.2. При выполнении контрольной работы № 5 необходимо изучить следующие вопросы: исследование сходимости числового ряда, исследование на абсолютную и условную сходимость знакочередующегося ряда, нахождение интервала сходимости степенного ряда, приближенные вычисления значений функции с помощью степенных рядов, применение степенных рядов к вычислению определенных интегралов, интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов, разложение функций в ряды Фурье. Ниже приведены примеры выполнения расчетов. К заданиям 391-400. Пример. Исследовать сходимость числового ряда , где а) ; б) . Решение. а) Для исследования сходимости числового ряда применим признак Даламбера; имеем , , , значит, Так как 2>1, ряд расходится. Ответ: ряд расходится. б) Для исследования сходимости числового ряда применим интегральный признак: , ,
Интеграл сходится, поэтому сходится и данный ряд. Ответ: ряд сходится. К заданиям 401-410. Пример. Найти интервал сходимости степенного ряда , где Решение: , , следовательно, ряд сходится для значений , удовлетворяющих неравенству -1< <1. Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если =1, то получим обобщенный гармонический ряд , который сходится, так как 2>1. Если =-1, то получим знакопеременный ряд , который сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница.
К заданиям 411-420. Пример. Вычислить значение функции при = 0,2 точностью до 0,001, разложив ее в степенной ряд. Решение. Разложение функции имеет вид . Заменим на ; получим Следовательно, при = 0,2 Так как знакопеременный ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Нетрудно видеть, что Произведя вычисления, в результате получаем Ответ: 0,073.
К заданиям 421-430. Пример. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав его почленно. Решение. Ответ: К заданиям 431-440. Пример. Найти четыре первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения . Решение. В тех случаях, когда для уравнения требуется решить задачу Коши при начальном условии y(x0)=y0, решение можно искать с помощью ряда Тейлора: где , а дальнейшие производные находят последовательным дифференцированием исходного уравнения и подстановкой в результат дифференцирования вместо , … значений и всех остальных найденных последующих производных. Из уравнения и начального условия находим Дифференцируя данное уравнение, последовательно получаем , .Полагая , и используя находим Аналогично, используя значения , находим Искомое решение имеет вид Ответ: К заданиям 441-450. Пример. Разложите функцию в ряд Фурье в интервале . Решение. Эта функция – кусочно - монотонная и ограниченная. Следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье. Определим ее коэффициенты Фурье:
при k – четном, при k – нечетном.
Таким образом, получаем ряд
Этот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна данной функции.
Ответ:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|