Метод LU-разложения матрицы коэффициентов

Метод основан на представлении матрицы системы в виде произведения двух матриц , где L – нижнетреугольная матрица с единичной диагональю, а U – верхнетреугольная матрица.

Запишем систему в виде .

Обозначим , (52)

тогда . (53)

Порядок заполнения матриц L и U:

1. Заполняем диагональ матрицы L единицами;

2. Заполняем элементы обеих матриц, равные 0;

3. Заполняем первую строку матрицы U соответствующими элементами матрицы А;

4. Заполняем первый столбец матрицы L элементами, равными , i = 2.. n;

5. Поочередно заполняем строки матрицы U и столбцы матрицы L, пользуясь формулами

Решаем сначала систему (53), находим последовательно w ₁, w ₂, …, w_n, а потом систему (52), находим последовательно v_n, v_{n -1}, …, v ₁.

Для повышения точности вычислений также требуется перестановка уравнений таким образом, чтобы по диагонали стояли наибольшие коэффициенты.

Метод особенно удобен при решении множества систем уравнений, у которых отличаются только правые части. В этом случае разложение матрицы выполняется только один раз, а решение уравнений сводится только к решению систем (52) и (53).

 

Метод прогонки

Метод используется для решения систем линейных уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов. Система уравнений имеет вид:

. (54)

Метод базируется на линейных зависимостях между значениями переменных: , (55)

где – прогоночные коэффициенты, соответствующие i- ому уравнению.

Метод включает также два хода:

· прямой ход – вычисление прогоночных коэффициентов для всех i = 1.. n- 1;

· обратный ход – последовательный расчет всех переменных, начиная с последнего уравнения.

В соответствии с выражением (54) первое уравнение записывается:

Отсюда Т.о., прогоночные коэффициенты для первого уравнения: (56)

Запишем второе уравнение системы: или Тогда

Т.о., для всех уравнений системы, начиная со второго, прогоночные коэффициенты рассчитываются по зависимостям:

(57)

Обратный ход. Запишем последнее уравнение системы: или Тогда

. (58)

Далее определяются все остальные переменные, используя принятые линейные зависимости (55).

 

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться:

Читайте также:

Абстрактные конечные автоматы 1-го и 2-го рода. Матрицы переходов и выходов. Представление графом.
Базисный минор матрицы. Ранг матрицы
Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
В поисках Божественной матрицы
В) Решить данную систему методом обратной матрицы.
Вопрос 34. Построение матрицы перехода через матрицы элементарных поворотов.
Вычисление обратной матрицы
Для матрицы McKincey
ИЗМЕРЕНИЕ РАЗМЕРА ЭЛЕМЕНТА МАТРИЦЫ С ПОМОЩЬЮ ШТРИХОВОЙ МИРЫ
Как найти ранг матрицы с помощью метода Гаусса?

Воспользуйтесь поиском по сайту: