Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Основные аффинные и метрические задачи

Раздел 1_3 - Метод координат

На плоскости и в пространстве

Лекция 7

Аффинная и прямоугольная декартова

Системы координат

Понятие аффинной и прямоугольной декартовой

Систем координат

Рис. 31

Рис. 32

Четверка, состоящая из точки О и базиса

в пространстве, называется аффинной системой координат в пространстве и обозначается

или

(рис. 31).

Точка О называется началом координат, векторы , , - координатными векторами: - первый координатный вектор, - второй, - третий.

Направленные прямые, на которых положительное направление определяется базисными векторами и которые проходят через точку О, называются координатными осями:

- ось абсцисс;

- ось ординат;

- ось аппликат (рис. 32).

Оси абсцисс, ординат и аппликат обозначаются и так: Ох, Оу, О z.

Плоскости, определяемые осями Ох и Оу, Оу и О z, Ох и О z, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оу z, Oxz, а систему координат иногда обозначают Oxyz.

Рис. 33

Пусть

- аффинная система координат, М – произвольная точка пространства. Вектор

называется радиус-вектором точки М относительно точки О (рис. 33).

Понятие координат точки вводится на основе понятия координат вектора.

Координатами точки М в системе координат называются координаты ее радиус-вектора в базисе , , .

Обозначение или просто М(х;у; z): х – абсцисса точки М, у – ордината, z – аппликата.

Если в пространстве задана аффинная система координат, то устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками (х;у; z) действительных чисел.

Рассмотрим особенности расположения точки относительно аффинной системы координат, если некоторые ее координаты являются нулевыми. Пусть М(х;у; z).

1) Если z =0, то М(х;у;0) Þ Þ . Верно и обратное: Þ z =0.

2) Докажите самостоятельно, что если у=0, то , и наоборот, если , то у=0.

3) Докажите самостоятельно, что если х=0, то , и наоборот, если , то х=0.

4) Если z =0 и у=0, то и Þ Þ . Верно и обратное: Þ z =0 и у=0.

Докажите самостоятельно, что:

5) Если х =0 и у=0, то и наоборот, если , то х =0 и у=0.

6) Если х =0 и z =0, то и наоборот, если , то х =0 и z =0.

7) Так как , то из пунктов 1) – 3) следует, что О (0;0;0) в системе координат .

Чтобы построить точку М(х;у; z) по ее координатам в системе координат , надо сначала построить точку М₁ (х;0;0), затем точку М₂ (х;у;0), а затем точку М (х;у;z). Процесс построения этих точек показан на рис. 34. Ломаная ОМ₁М₂М называется координатной ломаной точки М.

М₁

М₂

Рис. 34

Система координат называется прямоугольной декартовой, если ее базис является ортонормированным. Обозначение прямоугольной декартовой системы координат:

или

, где

, , и .

Прямоугольная декартова система координат является частным случаем аффинной.

Замечание. На плоскости аффинная система координат состоит из точки О (начала координат) и двух базисных векторов и (координатных векторов) (рис. 35). Поэтому в системе координат на плоскости любая точка имеет две координаты . Прямоугольная декартова система координат на плоскости изображена на рис. 36.

Рис. 35

Рис. 36

Задания для самостоятельной работы

1. Известны координаты точки М (-2;1;0) в аффинной системе координат . Каковы координаты точки М в системе координат ?

2. Дано изображение аффинной системы координат . Постройте точки Р (0;-2;0), Q (0;-3;-1), N (-1;2;-4).

3. М – центр тяжести (точка пересечения медиан) треугольника АВС. Найдите координаты точки В в системе координат , не достраивая треугольник АМС до параллелограмма.

4. Докажите, пользуясь определением координат точки, что если соответственные (одноименные) координаты двух точек равны, то эти точки совпадают.

Основные аффинные и метрические задачи

Задача называется метрической, если в ней фигурируют метрические свойства фигур, т.е. свойства, которые можно выявить непосредственным измерением (длина отрезка, расстояние между точками, расстояние от точки до прямой или плоскости, величина угла, перпендикулярность, площадь, объем). В аффинных задачах метрические свойства не рассматриваются. Аффинные задачи решаются в аффинной системе координат, а, следовательно, и в прямоугольной декартовой. Метрические задачи удобно решать в прямоугольной системе координат.

Основные аффинные и метрические задачи, решаемые с помощью координат, сформулируем в виде теорем.

Основные аффинные задачи

1. Координаты вектора, заданного двумя точками.

Теорема 1. Если в аффинной системе координат и , то .

Представим вектор в виде разности векторов и :

Так как , то по определению координат точки . Аналогично . Применяя свойство координат векторов (координаты разности двух векторов равны разности их соответствующих координат), получаем, что вектор имеет координаты Þ .

2. Деление отрезка в данном отношении.

Говорят, что точка М делит направленный отрезок в отношении , если выполняется векторное равенство:

. (1)

Число при этом называется простым отношением трех точек М₁, М₂ и М. Простое отношение трех точек М₁, М₂ и М обозначается так: .

Почему в определении деления отрезка в данном отношении ?

Пусть М₁М₂ и точка М делит направленный отрезок в отношении l=-1. Тогда по определению деления отрезка в данном отношении

т.е. Þ Þ . А так как начало у векторов и общее и они равны, то М₁=М₂. Получили противоречие с условием, следовательно, .

Из векторного равенства (1) следует, что если , то , т.е. точка М совпадает с точкой М₁; если l>0, то точка М лежит внутри отрезка (рис. 37), т.е. ; если l<0, то точка М лежит на прямой вне отрезка (рис. 38), т.е. или .