Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Общая постановка принципа максимума Понтрягина




Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:

, (19.45)

где .

Она описывает поведение некоторого объекта во времени. В момент времени переменные могут означать координаты точек, скорости и т. д.

Управление характеризуется точками , в качестве которых могут выступать количество подаваемого в двигатель топлива, температура и т. д. Очевидно, что эти параметры удовлетворяют некоторым ограничениям. Предполагается, что функции непрерывны по совокупности всех аргументов и непрерывно дифференцируемы по совокупности фазовых координат .

При заданных начальных условиях система (19.45) имеет единственное решение, если задать функции со значениями из .

Пусть выбрано допустимое управление и получена фазовая траектория с начальным условием .

Тогда система

,

имеет единственное решение при любых начальных условиях .

С помощью полученных функций строится функция Гамильтона

.

Для оптимальности управления и траектории необходимо существование такой ненулевой непрерывной вектор-функции , соответствующей функциям и , что при любом () функция переменного достигает максимума в точке .

В конечный момент времени

, . (19.46)

Кроме того, если , , удовлетворяют системам (19.45) и (19.46), то функции и являются постоянными, и в условии (19.46) точку можно заменить любой другой.

Для оптимальных по быстродействию управления и траектории необходимо существование такой ненулевой непрерывной вектор-функции , соответствующей функциям и , что для всех () функция

переменного достигает максимума в точке .

В конечный момент времени

. (19.47)

Если величины , и удовлетворяют системе

, , ,

и выполнено условие максимума, то функция переменного постоянна, и неравенство (19.47) можно проверять при любом другом значении ().

Принцип максимума позволяет из всех фазовых траекторий, начинающихся в точке и заканчивающихся в требуемой конечной точке , и соответствующих им управлений выделить лишь те, которые удовлетворяют всем сформулированным условиям.

Следовательно, имеются лишь отдельные фазовые траектории, удовлетворяющие условиям. И только эти отдельные траектории могут оказаться оптимальными, так как указанные в принципе максимума условия необходимы для оптимальности. Если условиям удовлетворяет только одна фазовая траектория, то можно надеяться, что найденная фазовая траектория и является оптимальной.

 

Приложения принципа максимума Понтрягина

Рассмотрим два примера использования принципа максимума Понтрягина на практике, которые были разработаны на основе классических задач: навигационной задачи Цермело и простейшей задачи регулирования по быстродействию.

 

Навигационная задача Цермело: в стационарном поле скоростей , где и – прямоугольные декартовы координаты, движется точка с постоянной по величине скоростью . Дано: , ; требуется минимизировать время

,

необходимое для достижения заданной конечной точки посредством выбора угла между направлением скорости точки и осью .

Уравнения состояния :

.

Отсюда

,

где принято .

Для максимума необходимо, чтобы выполнялось равенство

;

и должны удовлетворять сопряженным уравнениям

и

.

Если, в частности, и постоянны, то таковы же ; их значения вместе с удовлетворяют условиям

.

Простейшая задача регулирования по быстродействию: даны

– объем производимой продукции,

– скорость реализации продукции,

– изменение скорости реализации продукции

и уравнения состояния

, (то есть ).

Требуется минимизировать время

, (),

необходимое для достижения заданного конечного состояния

посредством оптимального управления такого, что

.

Максимизация гамильтониана

( – задача на быстродействие) при условии приводит к управлению

и

,

так что

.

Оптимальные траектории в плоскости являются дугами парабол, соответствующих и . Эти дуги пересекают «кривую переключений», соответствующую , и каждая траектория продолжается к началу координат вдоль этой кривой.

Каждая траектория зависит от параметров , которые должны выбираться так, чтобы выполнялись заданные граничные условия .

Рисунок 19.3 Фазовый портрет в окрестности точки равновесия

 

Таким образом, область применения принципа максимума Понтрягина распространяется не только на физические процессы, имеющие место в технике. Он может использоваться также в экономике для решения целого ряда задач оптимального управления.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...