Список индивидуальных данных

Лабораторная работа

Моделирование процессов работы СМО

Цель работы: изучить алгоритмы нахождения предельных вероятностей состояний СМО и оценки эффективности ее.

Теоретическая часть

Марковские процессы с дискретными состояниями удобно иллюстрировать с помощью так называемого графа состояний (рисунок 1), где кружками обозначены состояния S1, S2,... системы S, а стрелками – возможные переходы из состояния в со-стояние (рисунок 1).

Рисунок 1 - Пример графа состояний системы S

 

На графе отмечаются только непосредственные переходы, а не переходы через другие состояния. При рассмотрении непрерывных марковских процессов приня­то представлять переходы системы S из состояния в состояние как происходящие под влиянием некоторых потоков событий. Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим через какие-то, вообще говоря, случайные интервалы времени. Плотность вероятности перехода интерпретируется как интенсивность соответствующих потоков. Если все потоки пуассоновские, то процесс будет марковским.

При изучении марковских случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем в графе состояний над стрелками, ведущими из состояния S_i в S_j проставляют соответствующие интенсивности .Такой граф состояний называют размеченным.

Пусть система S имеет конечное число состояний S₀, S₁,..., S_n. Случайный процесс, протекающий в этой системе, описывается вероятностями состояний Р₀ (t), P₁ (t),... Р_n (t), при этом:

 

.

 

Вероятности состояний P_i (t) находятся путём решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова, имеющих вид:

 

Уравнения составляют по размеченному графу состояний системы, пользуясь следующим мнемоническим правилом:

Производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков ве­роятности, идущих из других состояний в данное состояние, минус сумма всех потоков вероятности, идущих из данного состояния в другие.

Общая постановка задачи

Составьте систему уравнений Колмогорова для СМО, представленной графом состояний. Найдите предельные вероятности для СМО тремя способами, решив систему уравнений. Оцените эффективность системы, если в состоянии S_о,S₁, S₂,, …. система приносит a, b, c, d, g, h и k денежных единиц дохода соответственно (недостающие исходные данные ввести самостоятельно). Проверьте чувствительность этой системы, изменяя интенсивность потоков, и предложите варианты увеличения эффективности системы.

Пример выполнения работы

1. СМО представлена графом состояний:

2.

3. Запустите MathCad.

4. Выполните решение систем линейных уравнений различными матричными способами:

- метод Крамера;

- метод обратной матрицы;

- использование функции lsolve.

 

5. Убедитесь, что ответы, найденные разными способами совпадают.

6. Составьте уравнения Колмогорова по своему варианту.

7. Запишите уравнения Колмогорова в виде систем линейных уравнений.

8. Решите систему тремя изученными способами и сравните полученные результаты.

9. Проверьте чувствительность этой системы, изменяя интенсивность потоков, и предложите варианты увеличения эффективности системы.

 

Список индивидуальных данных

№	Задания по вариантам	№	Задания по вариантам
		6.
7.
9.

 

	Значения λij
λ
	a	b	c	d	g	h	k

 

Контрольные вопросы к защите

1. Перечислите способы нахождения решение систем линейных уравнений в MatcCad и дайте им характеристику.

2. Опишите алгоритм получения предельных вероятностей СМО.

3. Напишите общий вид уравнений Колмогорова.

4. Опишите алгоритм составления уравнений Колмогорова по графу состояний.

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: