 |
Схемы напряженного состояния
|
|
|
|
Тензор напряжений
Напряженное состояние в точке деформируемого тела характеризуется поверхностью напряжений Коши, определяемой в общем случае тремя нормальными и шестью касательными напряжениями (уравнение 6), которые образуют тензор напряжений, в отличие от скаляра, определяемого числом, и вектора, определяемого числом и направлением. Тензор записывается в виде матрицы
С учетом парности касательных напряжений он примет вид
В главных напряжениях
С тензорами можно производить любые математические действия (сложение, вычитание, умножение, деление и т.д.).
Инварианты тензора напряжений
Главные напряжения при данном напряженном состоянии имеют единственное значение. Это же состояние может быть описано напряжениями в произвольных осях координат. Для оценки равенства напряженных состояний в точке при различном задании координатных осей пользуются величинами, составленными из компонентов тензора напряжений, которые не изменяют своего значения при повороте координатной системы вокруг точки начала координат. Их называют инвариантами тензора напряжений.
Пусть в какой-то наклонной площадке действует только нормальное напряжение 
, т.е. эта площадка является главной. Положение ее по отношению к выбранной системе координат определяется направляющими косинусами 
. Поскольку по направлению совпадает с нормалью к площадке, то его компоненты по координатным осям будут согласно (1)
Преобразуем систему
Поскольку 
, то
Развертывая определитель, после преобразований получим кубическое уравнение
Это уравнение имеет три действительных корня 
. Поскольку главные напряжения при данном напряженном состоянии имеют единственное значение, а система координат выбрана произвольно, то 
имеют одни и те же значения независимо от выбора координатных осей, т.е. инварианты к преобразованию осей и будучи составленными из компонент тензора напряжений являются его инвариантами. Инварианты тензора напряжений можно записать в главных напряжениях
|
|
|
Инварианты тензора напряжений характеризуют напряженное состояние независимо от выбранной системы координат.
Разложение тензора напряжений на
Девиаторную и шаровую составляющие
Тензор напряжений можно представить в виде суммы двух тензоров. Один из них характеризуется тремя равными между собой главными напряжениями, каждое из которых равно среднему (гидростатическому) давлению.
Этот тензор называют шаровым, т.е. эллипсоид напряжений в этом случае обращается в шар и описывает напряженное состояние точки, подвергнутой всестороннему равномерному растяжению или сжатию.
Шаровому тензору соответствует упругое изменение объема тела без изменения формы, например, при погружении металличе-ского шара в жидкость, кото-рая находится под давлением. Геометрическая интерпрета-ция шарового тензора имеет две схемы.
Если вычесть из тензора напряжений шаровой тензор, получим новый тензор, называемый девиатором напряжений 
.
Таким образом 
. Девиатор напряжений обусловливает изменение формы тела без изменения его объема. Геометрическая интерпретация девиатора напряжений имеет 3 схемы. Поскольку 
, то 
, а 
. Главное напряжение 
.
По аналогии с инвариантами тензора напряжений могут быть получены инварианты девиатора.
Схемы напряженного состояния
В практике обработки давлением встречаются различные варианты напряженного состояния, отличающиеся направлением напряжений, а так же наличием или отсутствием их по каким-либо осям. Классификация объединяет 4 объемные, 3 плоские и 2 линейные схемы напряжений.
|
|
|
(объемные)
(плоские)
(линейные)
Схемы, имеющие напряжения одного знака (минус-сжатие, плюс-растяжение), называются одноименными, а разных знаков – разноименными. Одноименные схемы: две линейные, две плоские и две объемные, разноименные: одна плоская и две объемных.
Линейная схема растяжения с определенным допущением реализуется при одноосном растяжении тела, длина которого значительно превышает диаметр, схема плоского состояния, например, может с известным приближением может быть реализована при растяжении тонкой пластины по контуру. Схемы объемного состояния характерны для большинства процессов ОМД.
|
|
|
