Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Распределение Фишера или F-распределение




Это распределение непрерывной случайной величины связанно с нормальным распределением. Если случайные величины , (n, m – натуральные числа), независимы и каждое из них имеет нормализованное распределение, то случайная величина

(3.8)

имеет распределение Фишера с параметрами n и m, называемыми степенями свободы данного распределения.

F-распределение Фишера (для x > 0) имеет следующую функцию плотности (для степеней свободы m и n):

.

С увеличением числа степеней свободы распределение Фишера очень медленно стремится к нормальному.

Графики плотности «хи-квадрат» распределения, t -распределения и распределения Фишера представлены на рис. 2.

 

 

а) б) в)

Рис 2. Графики плотности распределений:

а) хи-квадрат при числе степеней свободы m=10.

б) t-распределения при числе степеней свободы m=10.

в) Фишера для обеих степеней свободы равных 10.

Тема №8. Проверка гипотез

Пусть имеется выборка из генеральной совокупности с неизвестной теоретической функцией распределения.

Определение: Статистической гипотезой называется любое предположение о виде теоретической функции распределения. Имеются две непересекающиеся гипотезы: Н0 и H1. Н0 – нулевая (основная) гипотеза, H1 – альтернативная (конкурирующая) гипотеза. Принято считать, что Н0 –гипотеза о сходстве, H1 –гипотеза о различии.

Определение: Статистическим критерием (тестом) называется правило, позволяющее на основании наблюдений принять нулевую гипотезу Н0 или отвергнуть ее в пользу альтернативной H1.

Определение: Критическую область составляют те значения выборочных статистических показателей, которые ведут к отказу от нулевой гипотезы.

Возможные решения статистического критерия:

Результат проверки гипотезы Возможные состояния проверяемой гипотезы
Верна гипотеза Н0 Верна гипотеза H1
Н0 отклоняется Ошибка I рода Правильное решение
Н0 не отклоняется Правильное решение Ошибка II рода

Определение: Уровень значимости – вероятность ошибочного отклонения нулевой гипотезы Н0 (вероятность ошибки I рода). При статистическом анализе исследователь должен выбрать необходимый уровень значимости. При этом считают низшим уровнем значимости значение p =0.05, достаточным уровнем - p =0.01, высшем уровнем p =0.001.

Этапы принятия статистического решения:

1) Формулировка нулевой и альтернативной гипотез.

2) Определение объема выборки.

3) Выбор соответствующего уровня значимости или вероятности отклонения гипотезы Н0 ().

4) Выбор статистического метода, который зависит от типа решаемой задачи.

5) Вычисление значения выборочной статистики на основании наблюдений .

6) Если гипотеза Н0 верна, то распределение случайной величины известно (затабулировано).Нахождение по таблице для выбранного статистического метода критической области для определенного уровня значимости.

7) Сравнение эмпирического и критического значений. Если , то принимается Н0; если , то Н0 отвергается в пользу альтернативной.

8) Формулировка принятия решения (выбор гипотезы Н0 или H1).

При попадании выборочной статистики в зону незначимости принимается гипотеза Н0 об отсутствии различий. В случае попадания в зону значимости принимается гипотеза H1 о наличии различий, а гипотеза Н0 отклоняется. При попадании выборочной статистики в зону неопределенности в зависимости от важности решаемой задачи можно принять H1 на уровне 5% или принять Н0 на 1% уровне. В этом случае можно допустить ошибки I или II рода. В этих обстоятельствах лучше увеличить объем выборки.

Проверка гипотезы может быть односторонней или двусторонней.

Определение: Односторонний критерий используется в тех случаях, когда необходимо знать, является ли параметр генеральной совокупности > (правосторонний критерий) или < (левосторонний критерий) предполагаемого значения.

Определение: Двусторонний критерий используется в тех случаях, когда интересует, отличаются ли реальные значения параметра от предполагаемого значения.

Проверка гипотезы о соответствии исправленной выборочной дисперсии величине генеральной дисперсии нормальной совокупности.

Стандартизированный статистический критерий (тест) для проверки такой гипотезы рассчитывается как: , (1)

где σ02 – проверяемое значение генеральной дисперсии, а S2 – исправленная выборочная дисперсия,

Левосторонняя проверка: нулевая и альтернативная гипотезы имеют вид:

Н0: S22 – равенство неизвестной генеральной дисперсии S2;

Н0: S22.

Правило принятия решения: принять Н0, если , отвергнуть Н0, если . Здесь α – уровень значимости принятия гипотезы, k=n-1 – число степеней свободы - определяется по таблице χ2 –распределения (приложение 3).

Правосторонняя проверка: нулевая и альтернативная гипотезы имеют вид:

Н0: S22 – равенство неизвестной генеральной дисперсии S2;

Н0: S22.

Правило принятия решения: принять Н0, если , отвергнуть Н0, если .

Двусторонняя проверка: нулевая и альтернативная гипотезы имеют вид:

Н0: S22 – равенство неизвестной генеральной дисперсии S2;

Н0: S2≠σ2.

Правило принятия решения: принять Н0, если , отвергнуть Н0 в противном случае.

Проверка гипотезы о соответствии выборочной средней величине генеральной средней нормальной совокупности.

Формируем гипотезы о равенстве генеральной и выборочной средней.

Н0: μ=μ0;

Н1: μ≠μ0.

Правило принятия решения: принять Н0, если , в противном случае принять Н1. Zкрит определяется из таблиц функции Лапласа из равенства Ф(zкрит)=(1-α)/2.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...