 |
Теория функций комплексной переменной,
|
|
|
|
Операционное исчисление,
Теория вероятностей
Теория функций комплексной переменной
Рассматриваются следующие задачи: действия с комплексными числами; решение уравнений с комплексной переменной; интегрирование функции комплексной переменной.
Задача 77. Представить в тригонометрической и показательной форме число 
.
Решение. Число задано в алгебраической форме и в общем случае имеет вид
.
Здесь х и у – соответственно действительная и мнимая части комплексного числа z, а i – мнимая единица (i 2 = −1).
Число z изображается на комплексной плоскости точкой с координатами х и у (рис. 7).
 |
Рис.7
Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы связаны соотношениями
,
где 
– модуль комплексного числа z (радиус-вектор, соединяющий начало координат с точкой z); 
– аргумент комплексного числа z (угол между осью Ох и радиус-вектором ).
При этом
, 
.
С другой стороны,
, 
.
В силу многозначности будем рассматривать только его главное значение из промежутка 
, используя соотношение
.
Для 
имеем
, 
,
поэтому
.
Так как
и число z расположено во второй четверти (рис. 8), получим
.
Тогда
.
Рис. 8
Задача 78. Представить в тригонометрической и показательной форме число 
.
Решение. Здесь х = 0, у = −2 (см. задачу 77), поэтому 
. Построив (рис. 9), определим 
(формула 
неприменима, так как х = 0).
 |
Рис. 9
Итак,
.
Задача 79. Вычислить 
.
Решение. Выполнить действия с комплексными числами − значит представить результат в алгебраической, тригонометрической или показательной формах (см. задачу 77). В данном случае получим алгебраическую форму вида , для чего умножим числитель и знаменатель дроби на комплексно сопряженное к знаменателю число (
). В результате получим
|
|
|
.
Задача 80. Вычислить 
.
Решение. Возвести комплексное z число в степень n можно по формуле Муавра
,
где и − соответственно модуль и аргумент комплексного числа z.
Найдем и (см. задачу 77). Так как х = 1, 
, получим
.
Поскольку число z расположено в четвертой четверти (рис. 10), имеем
.
 |
Рис. 10
Тогда
Задача 81. Решить уравнение 
.
Решение. Преобразуем уравнение к виду
.
Тогда
и, значит, следует применить формулу Муавра извлечения корня степени n из комплексного числа
.
Здесь и − соответственно модуль и аргумент подкоренного выражения z.
Находим и для числа 
(см. задачу 77):
.
Так как число w расположено в третьей четверти (рис. 11), то
.
 |
Рис. 11
Далее получаем
Задача 82. Вычислить 
.
Решение. Поскольку i − число (
), а
,
имеем
.
Операционное исчисление
Рассматриваются задачи: нахождение изображения по заданному оригиналу; нахождение оригинала по заданному изображению, нахождение изображения свертки с применением теоремы Бореля; решение дифференциальных уравнений операционным методом.
Задача 83. Найти изображение F(p) для функции-оригинала
.
Решение. Функция-оригинал f(t) и ее изображение F(p) связаны соотношением
(или коротко: 
l 
).
Применение этого равенства приводит к известным формулам изображений элементарных функций, согласно которым
l 
, 
l 
, 
l 
,
l 
, 
l 
, 
l 
.
Замечание. На самом деле здесь перечислены изображения элементарных функций, умноженных на единичную функцию Хевисайда 
, которую обычно не пишут. Сама же функция Хевисайда имеет изображение 
.
Так как изображение суммы оригиналов равно сумме изображений, получаем
l
l 
.
Задача 84. Найти изображение F(p) для функции-оригинала
.
Решение. Преобразуем f(t) с помощью формул элементарной математики [приложение 5]:
|
|
|
, 
,
,
,
.
В результате получим
.
Теперь можно применить формулы изображений элементарных функций [приложение 6]. Имеем
.
Задача 85. Найти функцию-оригинал f(t) по заданному изображению
.
Решение. Воспользуемся формулами связи функций-оригиналов и их изображений [приложение 6]. Получим
l 
, 
l 
, 
l 
, 
l 
, 
l 
.
Окончательно имеем
.
Задача 86. Найти изображение свертки функций:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
Решение. Согласно теореме Бореля свертка (обозначается 
) функций f(t) g(t) имеет изображением функцию F(p)·G(p) (здесь l 
, 
l 
). Значит, для получения искомого изображения достаточно перемножить изображения каждой из свертываемых функций. Используя формулы изображений элементарных функций [приложение 6], получим
1) 
l 
;
2) 
l 
;
3) 
l 
.
Задача 87. Средствами операционного исчисления решить дифференциальное уравнение
.
Решение. Считая искомую функцию y(t) функцией-оригиналом, обозначим ее изображение Y(p) и найдем изображения левой и правой частей дифференциального уравнения. Согласно формуле дифференцирования оригинала
l 
и с учетом нулевых начальных условий получим
l 
,
l 
.
Так как 
l 
[приложение 6], для правой части имеем
l 
.
В результате дифференциальное уравнение, записанное в изображениях, примет вид
.
Решаем его относительно 
:
, т.е. 
.
Возвращаясь от изображения Y(p) к оригиналу y(t), получим искомое решение дифференциального уравнения
l 
.
Теория вероятностей
Рассматриваются задачи по темам: алгебра событий; формула полной вероятности; дискретная случайная величина и ее характеристики; непрерывная случайная величина и ее характеристики; распределения случайной величины: биномиальное, нормальное.
Задача 88. Три стрелка стреляют по мишени с вероятностями попадания 0,8, 0,9 и 0,7 соответственно. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень
а) попадут все три стрелка; б) не попадет ни один;
в) попадет ровно один стрелок; г) попадет хотя бы один стрелок.
Решение. Обозначим А 1, А 2 и А 3 − попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно, а 
, 
и 
− непопадания для этих же стрелков. Так как произведение событий есть событие, состоящее в совместном появлении перемножаемых величин, то А 1 А 2 А 3 означает три попадания, а 
− три промаха.
|
|
|
События А 1, А 2, А 3 независимы (появление одного не влияет на вероятность появления другого), поэтому вероятность трех попаданий (случай а)) равна произведению вероятностей
.
События А 1 и − противоположные события, значит удовлетворяют соотношению
.
Но тогда 
. Аналогично,
, 
.
Таким образом, вероятность трех промахов (случай б)) равна
.
Рассмотрим случай в). Искомое событие − попадет ровно один стрелок − состоит в появлении одного из событий:
(первый попал в мишень, а второй и третий промахнулись),
(второй попал, а два других промахнулись),
(третий попал, остальные − нет).
Так как событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий, есть их сумма, получим, что искомое событие равно
.
Слагаемые этой суммы − несовместные события (появление одного из них исключает появление другого), поэтому вероятность суммы равна сумме вероятностей. Следовательно, вероятность того, что попадет ровно один стрелок, равна
.
Рассматривая случай г), обозначим В − событие, состоящее в том, что в мишень попадет хотя бы один стрелок, т.е. при одном залпе будет от одного до трех попаданий. Если к событию В добавить событие, означающее все три промаха, получим полную группу событий с вероятностью, равной 1. Но тогда событие, означающее три промаха, есть 
, а его вероятность уже найдена (случай б)).
Итак,
и 
.
Задача 89. В ящике содержится 10 деталей, изготовленных на заводе №1, 15 деталей, изготовленных на заводе №2 и 20 деталей, изготовленных на заводе №3. Вероятности брака для трех заводов соответственно равны 0,1, 0,3 и 0,2. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется бракованной.
Решение. Обозначим А − событие, состоящее в том, что взятая деталь бракованная. Возможны три предположения (гипотезы):
Н 1 − деталь изготовлена на заводе №1,
Н 2 − деталь изготовлена на заводе №2,
Н 3 − деталь изготовлена на заводе №3.
Вероятности этих гипотез равны
, 
, 
.
По формуле полной вероятности (с учетом всех гипотез)
|
|
|
.
Здесь 
− вероятность того, что взятая деталь является бракованной при условии, что она изготовлена на заводе №1. Согласно условию задачи 
. Аналогично, 
, 
.
Но тогда
.
Задача 90. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
| Х | ||
| р | 0,8 | р 2 |
Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х) случайной величины Х.
Решение. Найдем р 2 из условия
.
Получим
.
Для дискретной случайной величины
, 
.
Поэтому
,
.
Задача 91. Дискретная случайная величина задана законом распределения
| Х | 
| ||
| р | р 1 | 0,3 | 0,4 |
Найти х 2, если М (Х) = 2,9.
Решение. Так как 
, то
.
В формулу математического ожидания
подставим известные значения и найдем х 2
,
,
.
Задача 92. Задана плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины Х:
Найти 
.
Решение. Вероятность попадания непрерывной случайной величины на отрезок [ a, b ] определяется формулой
.
Поскольку на отрезке [2, 4] плотность распределения f(x) задана различными аналитическими выражениями, интеграл заменяется суммой интегралов и тогда
.
Задача 93. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения 
Найти М (Х), D (Х).
Решение. Найдем сначала плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины Х по формуле
.
Получим
Математическое ожидание М (Х) и дисперсия D (Х) непрерывной случайной величины X вычисляются по формулам
, 
.
Получаем
,
.
Задача 94. Случайная величина Х − число появлений события А в n испытаниях − распределена по биномиальному закону с математическим ожиданием М (Х) = 4 и дисперсией D (Х) = 3. Найти вероятность появления события А в каждом испытании.
Решение. Для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, справедливы формулы
М (Х) = np, D (Х) = npq,
где р − вероятность появления события А в каждом испытании, а q – вероятность противоположного события, q =1 − p.
Имеем: np = 4, npq = 3.
Разделив второе равенство на первое, найдем q:
, отсюда 
.
Задача 95. Найти дисперсию случайной величины Х − числа появлений события А в 20 независимых испытаниях, если вероятности появления события в каждом испытании одинаковы, а М (Х) = 2.
Решение. Так как испытания независимы, а вероятность появления события А в каждом испытании одинакова, то случайная величина распределена по биномиальному закону. Но тогда
М (Х) = np, D (Х) = npq.
Из первого равенства найдем
.
Тогда 
,
значит, 
.
Задача 96. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с параметрами М (Х) = 2 см, D (Х) = 0,25 см2. Деталь считается годной, если ее диаметр не менее 1,5 см и не более 3 см. Определить процент годных и процент бракованных деталей.
|
|
|
Решение. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х, распределенная по нормальному закону, примет значение, принадлежащее отрезку 
, равна
,
где 
− функция Лапласа,
− среднее квадратическое отклонение (
).
Поэтому
или, с учетом нечетности функции Лапласа,
(значения функции Лапласа можно найти в таблице приложений – см. библ. список [2, 3]).
Полученный результат означает, что процент годных деталей составит 81,85%, бракованных − 18,15%.
Задача 97. Дальность полета снаряда распределена нормально с математическим ожиданием 200 м и средним квадратическим отклонением 10 м. Определить интервал, в который согласно «правилу 
» попадет снаряд с вероятностью 0,9973.
Решение. Если в формуле вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок (см. задачу 96) принять 
, 
, окажется, что
.
Это и есть «правило » − более 99,7% значений случайной величины попадут в интервал радиуса , симметричный относительно математического ожидания.
С учетом данных задачи получим
.
Приложение 1
|
|
|
