 |
Механика. Электроника. Музыка.
|
|
|
|
Введение
Обоснование эффекта резонанса
Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при совпадении частоты собственных колебаний с частотой колебаний вынуждающей силы. Увеличение амплитуды – это лишь следствие резонанса, а причина – совпадение внешней (возбуждающей) частоты с некоторой другой частотой, определяемой из параметров колебательной системы, таких как внутренняя (собственная) частота, коэффициент вязкости и т. п. Обычно резонансная частота не сильно отличается от собственной нормальной, но далеко не во всех случаях можно говорить об их совпадении.
В результате резонанса при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы. Степень отзывчивости в теории колебаний описывается величиной, называемой добротностью. При помощи резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания.
Явление резонанса впервые было описано Галилео Галилеем в 1602 г. в работах, посвященных исследованию маятников и музыкальных струн
Для использования колебательных методик СЗМ(1) необходимо знать частоту собственных колебаний и эффективную массу кантилевера:
Эффективная масса: 
.
Собственная частота: 
.
Истории, случившиеся по причине резонанса и где он используется.
Солдаты и мост.
В середине XIX века близ города Анжур во Франции по мосту длиной 102 метра проходил отряд солдат. Внезапно мост стал раскачиваться и рухнул. Погибли 226 человек. Трагедия, как установили специалисты, произошла в результате резонанса, т.е. совпадения частоты солдатского шага с собственной частотой колебаний моста: мост с резонировал на частоту солдатского шага. Иначе говоря, солдаты, идущие в ногу, раскачали мост, подобно тому, как ребёнок раскачивает качели. Размах колебаний моста превысил допустимые пределы прочности и мост разрушился. Описаны и другие подобные случаи с разрушениями мостов. С тех пор солдатам запрещено ходить по мостам в ногу.
|
|
|
Египетский мост прослужил петербуржцам до начала 20 века, а потом неожиданно обрушился, причём произошло это в тот момент, когда по нему через Фонтанку переезжал эскадрон конногвардейского полка. Истинная причина этой аварии так и осталась невыясненной. Выдвигалось предположение, что мост рухнул из-за того, что полк шёл по нему слишком ритмично и колебания, создаваемые шагами военных, вызвали в конструкции моста резонанс. Эта версия даже попала в школьные учебники по физике, и привела к возникновению новой военной команды "Идти не в ногу!", которая отдаётся группе солдат, собирающейся идти через мост. В прочем никакими физическими расчётами эта гипотеза подтверждена не была. К тому же некоторые очевидцы утверждали, что солдаты этого полка не стали спускаться перед мостом с лошадей и поехали по нему верхом, а значит, никакого резонанса в этом месте возникнуть не могло – лошадей, даже самых выдрессированных, при всём желании невозможно заставить идти "в ногу". Не исключено, что мост обрушился из-за допущенных при проектировании ошибок, не выдержав большого количества переходящих через него людей и коней.
Механика. Электроника. Музыка.
Наиболее известная большинству людей механическая резонансная система – это обычные качели. Если вы будете подталкивать качели в соответствии с их резонансной частотой, размах движения будет увеличиваться, в противном случае движения будут затухать. Резонансную частоту такого маятника с достаточной точностью в диапазоне малых смещений от равновесного состояния, можно найти по формуле:
|
|
|
,
где g это ускорение свободного падения (9,8 м/с² для поверхности Земли), а L – длина от точки подвешивания маятника до центра его масс. (Более точная формула довольно сложна, и включает эллиптический интеграл). Важно, что резонансная частота не зависит от массы маятника. Также важно, что раскачивать маятник нельзя на кратных частотах (высших гармониках), зато это можно делать на частотах, равных долям от основной (низших гармониках).
В основе работы механических резонаторов лежит преобразование потенциальной энергии в кинетическую. В случае простого маятника, вся его энергия содержится в потенциальной форме, когда он неподвижен и находится в верхних точках траектории, а при прохождении нижней точки на максимальной скорости, она преобразуется в кинетическую. Потенциальная энергия пропорциональна массе маятника и высоте подъёма относительно нижней точки, кинетическая — массе и квадрату скорости в точке измерения.
Другие механические системы могут использовать запас потенциальной энергии в различных формах. Например, пружина запасает энергию сжатия, которая, фактически, является энергией связи её атомов.
В электронных устройствах резонанс возникает на определённой частоте, когда индуктивная и ёмкостная составляющие реакции системы уравновешены, что позволяет энергии циркулировать между магнитным полем индуктивного элемента и электрическим полем конденсатора.
Механизм резонанса заключается в том, что магнитное поле индуктивности генерирует электрический ток, заряжающий конденсатор, а разрядка конденсатора создаёт магнитное поле в индуктивности – процесс, который повторяется многократно, по аналогии с механическим маятником.
Электрическое устройство, состоящее из ёмкости и индуктивности, называется колебательным контуром. Элементы колебательного контура могут быть включены как последовательно, так и параллельно. При достижении резонанса, импеданс последовательно соединённых индуктивности и ёмкости минимален, а при параллельном включении — максимален. Резонансные процессы в колебательных контурах используются в элементах настройки, электрических фильтрах. Частота, на которой происходит резонанс, определяется величинами (номиналами) используемых элементов. В то же время, резонанс может быть и вреден, если он возникает в неожиданном месте по причине повреждения, недостаточно качественного проектирования или производства электронного устройства. Такой резонанс может вызывать паразитный шум, искажения сигнала, и даже повреждение компонентов.
|
|
|
Приняв, что в момент резонанса индуктивная и ёмкостная составляющие импеданса равны, резонансную частоту можно найти из выражения
,
где 
; f — резонансная частота в герцах; L — индуктивность в генри; C – ёмкость в фарадах. Важно, что в реальных системах понятие резонансной частоты неразрывно связано с полосой пропускания, то есть диапазоном частот, в котором реакция системы мало отличается от реакции на резонансной частоте. Ширина полосы пропускания определяется добротностью системы.
Струны таких инструментов, как лютня, гитара, скрипка или пианино, имеют основную резонансную частоту, напрямую зависящую от длины, массы и силы натяжения струны. Длина волны первого резонанса струны равна её удвоенной длине. При этом, её частота зависит от скорости v, с которой волна распространяется по струне:
где L — длина струны (в случае, если она закреплена с обоих концов). Скорость распространения волны по струне зависит от её натяжения T и массы на единицу длины ρ:
Таким образом, частота главного резонанса зависит от свойств струны и выражается следующим отношением:
,
где T — сила натяжения, ρ — масса единицы длины струны, а m — полная масса струны.
Увеличение натяжения струны и уменьшение её массы (толщины) и длины увеличивает её резонансную частоту. Помимо основного резонанса, струны также имеют резонансы на высших гармониках основной частоты f, например, 2 f, 3 f, 4 f, и т. д. Если струне придать колебание коротким воздействием (щипком пальцев или ударом молоточка), струна начнёт колебания на всех частотах, присутствующих в воздействующем импульсе (теоретически, короткий импульс содержит все частоты). Однако частоты, не совпадающие с резонансными, быстро затухнут, и мы услышим только гармонические колебания, которые и воспринимаются как музыкальные ноты.
|
|
|
