 |
Комментарии и рекомендации.
|
|
|
|
Программные листы комплексного экзамена
Группа 22т 2014-15уч. год
***
Комментарии и рекомендации.
Первая часть каждого вопроса отражает его название. Вторая часть - отражает минимальное содержание соответствующего вопроса.
Билеты формируются на основе программных листов, где вопросы программного листа могут быть представлены полностью или частично.
В билетах два теоретических вопроса: один из них по высшей математике, другой по математической логике и одно задание практического содержания по одной из указанных учебных дисциплин.
При подготовке к экзамену рекомендуется использовать записи лекционных и практических занятий по дисциплинам и следующую литературу:
1. Спирина М.С., Спирин П.А. Дискретная математика. Учебник. Москва. Академия. 2006.
2. Соболь Б.В. Практикум по высшей математике / Б.В. Соболь, Н.Т. Мишняков, В.М. Поркшеян. – Изд. 3-е. – Ростов н/Д: Феникс, 20060 – 640 с. – (Высшее образование).
***
2. Дисциплина "Элементы высшей математики".
1. Матрицы и определители. Определение матрицы. Действия над матрицами, их свойства. Единичная матрица. Обратная матрица. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы.
2. Определители 2-го и 3-го порядка. Определение определителя. Вычисление определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителей по элементам строки или столбца.
3. Системы линейных уравнений. Общий вид системы линейных уравнений.Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Определитель системы уравнений. Способы решения систем: правило Крамера, матричный метод, метод Гаусса.
4. Векторы. Операции над векторами. Определение вектора. Операции над векторами, их свойства. Координаты вектора. Модуль вектора. Скалярное произведение векторов. Вычисление скалярного произведения через координаты вектора.
|
|
|
5. Прямая на плоскости. У равнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой, проходящей через две данные точки, параметрические уравнения, уравнение в канонической форме.
6. Кривые второго порядка. Определение кривых второго порядка, Канонические уравнения и свойства окружности, эллипса, гиперболы, параболы.
7. Комплексные числа. Определение комплексного числа. Запись комплексных чисел в алгебраической форме. Геометрическое изображение комплексных чисел. Действия над комплексными числами. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел.
8. Числовая последовательность. Определение, способы задания и виды числовых последовательностей.
9. Предел числовой последовательности. Определение предела и способы вычисления пределов. Замечательные пределы.
10. Понятие функции. Определение функции. Свойства функций: четность, монотонность, экстремумы, точки перегиба
11. Предел функции. Определение предела функции. Свойства пределов. Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними. Замечательные пределы. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация.
12. Производная функции. Определение производной, геометрический и физический смысл производной в точке. Производные основных элементарных функций. Производная суммы, произведения и частного. Производная сложной функции. Производные второго и более порядка.
13. Возрастание и убывание функций. Условия возрастания и убывания. Нахождение экстремумов с помощью первой производной. Нахождение с помощью второй производной промежутков выпуклости и точек перегиба. Асимптоты и способы их вычисления.
14. Полное исследование функции. Область определения и множество значений функций. Точки пересечения с осями. Четность, критические точки, монотонность, максимум и минимум. Точки перегибы и направления выпуклости, график функции.
|
|
|
15. Неопределенный интеграл, его свойства. Первообразная, Таблица основных интегралов. Способы вычисления интегралов: метод замены переменных, интегрирование по частям, интегрирование рациональных функций.
16. Определенный интеграл, его свойства. Геометрический смысл определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла. Вычисление площади криволинейной трапеции и объема тел вращения.
17. Понятие функции нескольких переменных. Определение и задание функции с двумя переменными. Построение области определения функции с двумя переменными.
18. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Частные производные первого и второго порядка Производные и дифференциалы высших порядков.
19. Двойные интегралы. Свойства двойных интегралов. Повторное интегрирование. Порядок интегрирование, смена порядка интегрирования. Приложения двойных интегралов к вычислению площадей фигур и объемов тел..
20. Числовые ряды. Определение числового ряда, сумма ряда, остаток ряда. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости рядов. Признаки сравнения положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши, интегральный признак сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.
21. Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Поведение степенного ряда на концах интервала сходимости. Область сходимости степенного ряда.
22. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд. Ряды Фурье.
23. Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющими переменными. Линейные однородные и линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и уравнения, допускающие понижение степеней.
***
3. Дисциплина "Элементы математической логики"
1. Общие понятия теории множеств. Определение множества, способы задания множеств. Подмножество. Равные множества, численность множества. Круги Эйлера-Венна.
|
|
|
2. Основные операции над множествами Объединение, пересечение, вычитание
3. Кортежи. Понятие кортежа. Определение и виды кортежей
4. Декартово произведение множеств. Определение декартового произведения двух и более множеств, способы задания его.
5. Соответствия между множествами. Различные способы определения и задания соответствия
6. Понятие отображения. Взаимнооднозначные (биективные) отображения. Операция композиции отображений и ее свойства. Обратное отображение.
7. Бинарные отношения. Задание отношений. Виды отношений. Отношения рефлексивные, симметричные, транзитивные и т.д. Отношение эквивалентности; теорема о разбиении множества на классы эквивалентности, отношения толерантности, отношение порядка
8. Понятие как форма мышления. Историческая справка. Объем и содержание понятия, связь между ними. Явные и неявные способы определения понятий. Правила и требования к определению понятий
9. Высказывания. Понятие высказывания. Простые и составные высказывания. Основные логические операции над высказываниями.
10. Формулы логики Понятие формулы логики. Логические операции Таблица истинности. Тождественно-истинные и тождественно-ложные формулы. Элементарная конъюнкция и дизъюнкция Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы (ДНФ, КНФ).
11. Законы алгебры логики. Коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность логических операций. Законы Моргана. Упрощение формул логики с помощью равносильных преобразований
12. Булевы функции. Понятие булевой функции (функции алгебры логики). Способы задания булевой функции. Представление булевой функции в виде формулы логики.
13. Понятие совершенной ДНФ. Представление булевой функции в виде СДНФ.
14. Понятие минимальной ДНФ. Представление булевой функции в виде МДНФ
15. Понятие предиката Определение предиката и его запись. Область определения и область истинности предиката.
16. Логические операции над предикатами. Область определения и множество истинности предиката. Операции над предикатами: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, отрицание предикатов. Построение отрицаний к предикатам, содержащим кванторные операции.
|
|
|
17. Понятие и виды индукции. Неполная и полная индукция. Примеры индуктивных рассуждений.
18. Метод математической индукции. Смысл метода математической индукции. Общая схема доказательства методом математической индукции.
19. Статистическое обобщение. Выборка, статистическая вероятность. Условия повышения статистической вероятности. Примеры не индуктивных умозаключений. Аналогия, Моделирование. Гипотезы
20. Моделирование. Понятие модели. Виды моделей, моделирование как метод познания.
***
Программные листы составлены на основе действующих рабочих программ по дисциплине "Элементы высшей математики" и "Элементы математической логики"
Преподаватель Калашников Ю.И.
|
|
|
