 |
Производная и дифференцируемость функции в точке. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования.
|
|
|
|
Математический анализ и дифференциальные уравнения
Мощность множества. Счетные множества и их свойства. Множества мощности континуума.
Эквивалентность множеств. Определение мощности множества. Сравнение мощностей. Существование различных мощностей (обзорно). Счетные множества и их простейшие свойства (минимальность счетного множества среди бесконечных множеств). Основные свойства счетных множеств (обзорно). Счётность множества рациональных и алгебраических чисел. Несчетность сегмента 
. Множества мощности континуума.
Несчетность множества действительных, иррациональных и трансцендентных чисел (т.е. надо доказать, что эти множества имеют мощность континуума).
Функция. Предел функции в точке.
Понятие функции. Числовые функции числового аргумента. График функции. Способы задания функции (обзорно). Элементарные глобальные свойства функций (ограниченность, неограниченность, монотонность, периодичность, четность, нечетность). Предел функции в точке по Коши и по Гейне. Геометрическая интерпретация предела функции в точке. Эквивалентность двух определений. Единственность предела функции.
Последовательность, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей.
Последовательность, подпоследовательность. Числовая последовательность. Способы задания последовательности. Примеры последовательности (арифметическая и геометрическая прогрессии). Свойства последовательностей: ограниченность, неограниченность, монотонность. Предел последовательности. Геометрическая интерпретация предела последовательности. Свойства сходящейся последовательности: единственность предела, ограниченность, сходимость любой подпоследовательности. Арифметические действия над сходящимися последовательностями, предельный переход в неравенствах.
|
|
|
Ограниченные множества. Существование граней ограниченного множества. Предел монотонной последовательности.
Ограниченные и неограниченные числовые множества. Грани числовых множеств. Теорема о существовании верхней грани ограниченного сверху непустого множества. Теорема о пределе монотонной последовательности. Практические применения теоремы о пределе монотонной последовательности в школьном курсе математики.
5. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши о сходимости
числовой последовательности.
Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении из ограниченной последовательности сходящейся подпоследовательности. Фундаментальные числовые последовательности и их свойства (необходимое условие сходимости, ограниченность). Критерий Коши о сходимости числовой последовательности (полнота метрического пространства R).
Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций.
Различные определения непрерывности функции в точке. Локальные свойства непрерывной в точке функции (ограниченность, сохранение функцией знака). Непрерывность суммы, произведения и частного двух непрерывных функций. Понятие сложной функции. Непрерывность сложной функции.
Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывных на сегменте функций и их применения.
Первая теорема Больцано-Коши об обращении в нуль непрерывной функции. Вторая теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции. Следствие из второй теоремы Больцано-Коши (непрерывный образ промежутка есть промежуток). Применение теорем Больцано-Коши при доказательстве существования решений уравнений, обосновании метода интервалов для решения неравенств и при определении множества значений непрерывных функций.
|
|
|
Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на сегменте функций.
Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на сегменте функции. Вторая теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной на сегменте функцией своих граней. Существенность условий в теоремах Вейерштрасса.
Обратная функция. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции. Обратные тригонометрические функции.
Понятие обратной функции. График. Монотонные функции и их свойства (обзорно). Существование и непрерывность обратной функции. Определение и существование обратных тригонометрических функций. Основные свойства обратных тригонометрических функций: область определения, множество значений, непрерывность, график.
Производная и дифференцируемость функции в точке. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования.
Понятие производной функции в точке. Геометрический и механический смысл производной функции в точке. Уравнение касательной и нормали к графику функции в точке. Дифференцируемость функции в точке. Условия дифференцируемости функции в точке. Связь дифференцируемости с непрерывностью функции в точке. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций.
|
|
|
