Краткие теоретические сведения

 

РАЗДЕЛ 1. Вероятность и теоремы о ней

Множество всех взаимоисключающих друг друга исходов опыта называется пространством элементарных событий и обозначается Ω, т. е. Ω = {ω₁, ω₂, …}, где ω_i – элементарные события (исходы). Любое подмножество А множества Ω называется событием.

Суммой А + В событий А и В называется событие,состоящее из тех исходов, которые входят в событие А, или в событие В, или в то и другое.

Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее из исходов, которые входят в оба события А и В.

Разностью А – В событий А и В называется событие, состоящее из исходов, входящих в А, но не входящих в В.

Достоверным называется событие, состоящее из всех исходов и обозначается Ω. Событие, не содержащее исходов, называется невозможным и обозначается Ø. События, не содержащие общих исходов, называются несовместными, т. е. если А и В – несовместны, то АВ = Ø.

Событие состоящее из всех исходов опыта, не входящих в событие А, называется противоположным (дополнительным) событию А.

Если множество Ω состоит из n равновозможных исходов, то вероятность Р(А) события А равна

Р(А) = (1)

где m – число исходов, входящих в событие А («благоприятные» для А исходы).

Вероятность (1) называется классической.

Геометрическая вероятность попадания случайной точки в область g, являющейся частью области G, равна

Р(g) = (2)

где мера области – это либо длина, либо площадь, либо объем этой области.

Для вычисления числа исходов опыта (n и m) часто используют формулы комбинаторики.

Число всех перестановок Р_n множества из n равно

Р_n = n!. (3)

Число размещений из n элементов по k равно

(4)

Число сочетаний из n элементов по k равно

(5)

Условная вероятность Р(А | В) события А при условии, что событие В произошло, равна

(6)

где Р(В) ¹ 0.

События А и В называются независимыми, если выполняется условие

Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В). (7)

Для независимых событий справедливо

Р(А | В) = Р(А); Р(В | А) = Р(В). (8)

Свойства вероятности:

1) Р(Ω) = 1;

2) Р(Ø) = 0;

3) 0 ≤ Р(А) ≤ 1 для любого события А;

4) Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) для любых событий А и В. Если А и В – несовместны, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В);

5) Р = 1 – Р(А);

6) Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В | А) = Р(В) ∙ Р(А | В) для любых событий А и В. Если А и В – независимые события, то Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В).

События H₁, H₂, …, H_n образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и в сумме составляют достоверное событие, т. е.

H_i ∙ H_j = Ø (i ≠ j) и H₁ + H₂ + … + H_n = Ω. (9)

Вероятность события А, которое может наступить только вместе с одним из несовместных событий (гипотез) H₁, H₂, …, H_n, вычисляется по формуле полной вероятности:

Р(А) = (10)

С формулой (10) тесно связана формула Байеса, позволяющая вычислить новые условные вероятности гипотез H_i, при условии, что событие А наступило:

i = 1, 2, …, n, (11)

где Р(А) – полная вероятность (10).

Вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно m раз, находится по формуле Бернулли:

Р_n(m) = (12)

где – число сочетаний из n по m;

р – вероятность успеха в одном испытании;

q = 1 – р – вероятность неудачи.

Если число опытов n велико, а вероятность успеха р – мала (р < 0,1), то вместо формулы (12) применяют приближенную формулу Пуассона

Р_n(m) ≈ (13)

где λ = n ∙ p.

Формула (13) используется в задачах, относящихся к появлению редких событий.

Если m₁, m₂ – целые числа, такие, что 0 ≤ m₁ ≤ m₂ ≤ n, то вероятность того, что успех наступит не менее m₁ и не более m₂ раз в n испытаниях, находится по формуле

Р(m₁ ≤ m ≤ m₂) = (14)

РАЗДЕЛ 2. Случайные величины

Случайной величиной Х называется функция, определенная на пространстве элементарных событий Ω и принимающая числовые значения. Причем для любого действительного хопределена вероятность

Р(Х<х) = F(x), (15)

которая называется функцией распределения случайной величины Х.

Функция распределения F(х) – неубывающая, непрерывная слева функция, определенная на всей числовой оси.

Свойства функции распределения:

1) 0 ≤ F(x) ≤ 1;

2) P(a ≤ X≤ b) = F(b) – F(a);

3) F(–∞) = 0, F(+∞) = 1.

Случайные величины бывают трех типов: дискретные, непрерывные и смешанные (дискретно-непрерывные).

Случайная величина называется дискретной, если она может принимать конечное или бесконечное счетное число значений.

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать бесконечное несчетное число значений (например, значения из какого-то интервала на числовой оси).

Если Х – дискретная случайная величина (ДСВ), принимающая значения х₁, х₂, … с вероятностями р₁, р₂, … соответственно, то ее функция распределения выражается формулой

(16)

Формулу (16) можно записать в виде

(17)

График функции распределения ДСВ представляет собой ступенчатую линию (рис. 1).

 

 

Рис. 1

Законом (или рядом) распределения ДСВ Х называют таблицу следующего вида:

Х	х 1 х2 х3 …	, (18)
P	р1 р2 р3 …

где х_i – возможные значения Х;

р_i = Р(Х = х_i); при этом

Графическое изображение закона распределения (18) называется многоугольником распределения. Для его построения в прямоугольной системе координат строят точки (х₁, р₁), (х₂, р₂), … и соединяют их отрезками прямых.

Закон распределения непрерывной случайной величины (НСВ) Х задается или функцией распределения, или функцией плотности вероятности. Функция распределения НСВ Х выражается формулой

(19)

где f(x) ≥ 0 – функция плотности вероятности.

Свойства плотности вероятности:

1)

2) f(x) = F'(x);

3) Р(х₁ ≤ Х ≤ х₂) =

График функции распределения F(x) непрерывной случайной величины является непрерывной кривой. График функции плотности называется кривой распределения.

Характеристиками положения случайной величины являются математическое ожидание, мода и медиана.

Математическим ожиданием случайной величины Х называют число М(Х), определяемое соответственно формулами (предполагается, что ряд и интеграл сходятся абсолютно):

(20)

где Х – дискретная случайная величина;

х_i – значения случайной величины;

р_i – их вероятности;

M(Х) = (21)

где Х – непрерывная случайная величина,

f(x) – плотность вероятности.

Свойства математического ожидания:

1) М(С) = С, где С – const;

2) М(СХ) = С М(Х);

3) М(Х±Y) = M(X) ± M(Y), где Х и Y – любые случайные величины;

4) М(Х∙Y) = M(X) ∙ M(Y), если Х и Y – независимые случайные величины.

Случайные величины Х и Y называются независимыми, если для любых х и y имеет место

P(X < x, Y < y) = P(X < x) ∙ P(Y < y). (22)

Модой (М₀) ДСВ называется ее наиболее вероятное значение. Модой НСВ называется то ее значение, при котором плотность вероятности максимальна.

Медианой НСВ Х называется такое ее значение М_е, для которого

P(X < M_e) = P(X > M_e) = (23)

Дисперсия определяется как математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от своего математического ожидания

D(X) = M(X – M(X))². (24)

Для вычислений удобна также следующая формула:

D(X) = M(X²) – (M(X))². (25)

Свойства дисперсии:

1) D(C) = 0, где С – const;

2) D(CX) = C² D(X);

3) если Х и Y – независимые случайные величины, то D(X ± Y) = D(X) + D(Y).

Дисперсия ДСВ Х, имеющей распределение (18), вычисляется по формулам:

или (26)

(27)

РАЗДЕЛ 3. Математическая статистика

Наблюдавшиеся значения х_i (i = 1, …, n) случайной величины Х называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, – вариационным рядом. Набор вариант х_i, полученных в результате n опытов, называется выборкой объема n. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант х_i вариационного ряда и соответствующих им частот n_i или относительных частот μ_i. Несмещенной оценкой для среднего значения m служит выборочная средняя

(28)

где n – объем выборки;

х_i – варианты выборки.

Несмещенной оценкой для дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия

(29)

Несмещенной оценкой для среднего квадратичного отклонения служит стандартное отклонение

(30)

т. е. корень квадратный из выборочной дисперсии S².

Доверительным интервалом называется интервал, который с заданной доверительной вероятностью γ покрывает оцениваемый параметр.

Для оценки среднего значения m случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, при неизвестной дисперсии σ² служит доверительный интервал

(31)

где – выборочное среднее;

t_α находится по таблице распределения Стьюдента для α = 1 – γ по заданным n и γ [1];

S – оценка среднего квадратичного отклонения;

n – объем выборки.

Контрольная работа

Задание 1

Вариант 0

На полке стоят 14 книг, 8 из которых по математике. Наудачу берут 6 книг. Найти вероятность того, что среди отобранных книг:

а) три по математике;

б) ни одной по математике;

в) не менее трех по математике.

 

Вариант 1

В партии готовой продукции из 20 изделий имеется 8 повышенного качества. Наудачу отбирают пять изделий. Какова вероятность, что среди них будут:

а) четыре повышенного качества;

б) хотя бы одно повышенного качества;

в) ни одного повышенного качества.

 

Вариант 2

В лаборатории работают 7 мужчин и 5 женщин. Наудачу выбирают шестерых человек. Найти вероятность того, что среди отобранных будут:

а) три женщины;

б) хотя бы один мужчина;

в) только мужчины.

 

Вариант 3

В классе 30 учеников, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 учеников. Найти вероятность того, что среди отобранных учеников:

а) пять отличников;

б) хотя бы один отличник;

в) ни одного отличника.

 

Вариант 4

Устройство состоит из 17 элементов, 3 из которых изношены. При включении устройства включаются случайным образом 4 элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся:

а) неизношенные элементы;

б) хотя бы один неизношенный элемент;

в) два изношенных элемента.

 

Вариант 5

В партии из 100 деталей имеется 12 бракованных. Наудачу берут из партии 4 детали. Найти вероятность того, что среди выбранных деталей окажутся:

а) ни одной бракованной;

б) ни одной годной;

в) две бракованные детали.

 

Вариант 6

Собрание, на котором присутствуют 30 человек, в том числе 12 женщин, выбирает делегацию из пяти человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут:

а) две женщины;

б) не менее четырех мужчин;

в) ни одной женщины.

 

Вариант 7

В ящике 11 одинаковых изделий, причем 6 из них окрашены. Наудачу извлечены 4 изделия. Найти вероятность того, что среди извлеченных изделий будут:

а) одно окрашенное изделие;

б) три окрашенных изделия;

в) хотя бы одно окрашенное изделие

 

Вариант 8

В конверте лежат 12 фотокарточек киноактеров и 7 фотокарточек киноактрис. Из конверта наудачу извлечены 5 карточек. Найти вероятность того, что среди извлеченных окажется:

а) одна карточка актрисы;

б) хотя бы одна карточка актрисы;

в) две карточки актера.

 

Вариант 9

Среди 25 студентов группы, в которой 10 юношей, разыгрываются 7 билетов в кино. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся:

а) хотя бы одна девушка;

б) три юноши;

в) ни одного юноши.

Задание 2

 

В первой урне а₁ красных, в₁ белых и с₁ черных шаров. Во второй а₂ красных, в₂ белых и с₂ черных шаров. Из первой урны взято m₁ шаров, а из второй – m₂. Определить вероятность того, что среди вынутых шаров будут:

а) все шары одного цвета;

б) один шар черного цвета.

Исходные данные представлены в табл. 2.

 

Т а б л и ц а 2

 

Вариант	а1	в1	с1	а2	в2	с2	m1	m2

 

Задание 3

 

Для заданной СВ Х записать ее ряд распределения, найти функцию распределения (и построить ее график), математическое ожидание, дисперсию. Построить многоугольник распределения.

 

Вариант 0

Вероятность попадания мячом в корзину при одном броске равна 0,4. Сделано семь бросков. Случайная величина Х – число попаданий мячом при семи бросках.

Вариант 1

В урне имеется пять шаров с номерами от 1 до 5. Вынули наудачу два шара. Случайная величина Х – сумма номеров вынутых шаров.

Вариант 2

В урне 3 черных и 7 белых шаров. Из урны пять раз наудачу извлекают шар (с возвращением перед каждым извлечением). Случайная величина Х – число вынутых белых шаров.

Вариант 3

В партии 94 % вещества является стандартным. Для анализа отбираются 6 единиц вещества. Случайная величина Х – число стандартных единиц среди отобранных.

Вариант 4

Стрелок делает 10 выстрелов по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Случайная величина Х – число промахов стрелка при десяти выстрелах.

Вариант 5

Школьник играет в игру против ЭВМ. Вероятность выигрыша в одной игре равна 0,4. Случайная величина Х – число выигрышей из шести сыгранных партий.

Вариант 6

Бросают пять правильных монет. Случайная величина Х – число выпавших решек.

Вариант 7

В урне 12 белых и 8 черных шаров. Из нее пять раз подряд достают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в урну и перемешивают. Случайная величина Х – число извлеченных черных шаров.

 

Вариант 8

Установлено, что доля вещества, обладающего скрытым дефектом, составляет 20 %. Наугад отбирают 7 единиц этого вещества. Случайная величина Х – число дефектных единиц вещества в выборке.

Вариант 9

Вероятность появления частицы в течение промежутка времени t равна 0,2. Случайная величина Х – число появлений частиц в течение четырех промежутков времени.

Задание 4

 

Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами m и σ. Найти вероятность того, что случайная величина Х принимает значения:

а) из интервала [a, b];

б) меньшее а;

в) большее b;

г) отличающееся от своего среднего m по абсолютной величине не больше, чем на ε.

Значения параметров заданы в табл. 3.

 

Т а б л и ц а 3

 

Вариант	m	σ	а	b	ε
			-4
			-4
			- 1
			-1

 

Задание 5

 

По заданной выборке

а) составить вариационный ряд и статистический закон распределения;

б) построить полигон;

в) составить эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

г) вычислить несмещенные оценки среднего значения m, дисперсии σ² и среднего квадратичного отклонения σ: S², S;

д) найти доверительный интервал для среднего значения m с доверительной вероятностью γ.

 

Вариант 0

59, 60, 57, 57, 58, 57, 59, 56, 59, 57; γ = 0,98.

 

Вариант 1

8, 7, 19, 26, 11, 11, 15, 18, 12, 18; γ = 0,99.

Вариант 2

210, 204, 211, 215, 215, 197, 201, 205, 201, 204; γ = 0,95.

Вариант 3

52, 34, 49, 44, 45, 45, 37, 36, 46, 36; γ = 0,8.

Вариант 4

99, 100, 112, 95, 107, 113, 98, 106, 110, 97; γ= 0,95.

 

Вариант 5

–105, –101, –112, –89, –92, –97, –91, –91, –97, –101; γ = 0,99.

Вариант 6

–19, –31, –26, –40, –28, –35, –25, –44, –41, –39; γ = 0,9.

 

Вариант 7

30, 27, 19, 30, 27, 29, 21, 34, 31, 23; γ = 0,8.

 

Вариант 8

–41, –41, –34, –38, –50, –45, –49, –46, –47, –47; γ= 0,98.

 

Вариант 9

–9, –17, –16, –14, –8, –25, –17, –14, –18, –15; γ = 0,9.

 

Методические рекомендации

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: