 |
Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних
|
|
|
|
Пусть из генеральной совокупности (в результате независимых наблюдений над количественным признаком X) извлечена повторная выборка объема n со значениями признака x1, x2,…,xn. Будем считать эти значения признака различными.
Пусть генеральная средняя xг неизвестна и требуется оценить ее по данным выборки.
В качестве оценки генеральной средней принимают выборочную среднюю:
= (x1, x2,…,xn)/n
В математической статистике доказывается, что - несмещенная оценка, то есть математическое ожидание этой оценки равно xг. Таким образом, выборочная средняя есть несмещенная оценка генеральной средней. Кроме того, при увеличении объема выборки n выборочная средняя стремится по вероятности к генеральной средней, то есть она является и состоятельной оценкой генеральной средней. Из этого следует также, что если по нескольким выборкам достаточно большого объема из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой. В этом состоит свойство устойчивости выборочных средних.
Чем больше объем выборки, тем меньше выборочная средняя отличается от генеральной средней.
Например, если из одной генеральной совокупности отобран 1% объектов, а из другой – 4%, причем объем первой выборки оказался большим, чем второй, то первая выборочная средняя будет меньше отличаться от соответствующей генеральной средней, чем вторая.
Групповая и общая средние
Допустим, что все значения количественного признака X совокупности, безразлично – генеральной или выборочной, разбиты на несколько групп. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти ее среднюю арифметическую.
|
|
|
Групповой средней называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих группе.
Общей средней 
называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих всей совокупности.
Зная групповые средние и объемы групп, можно найти общую среднюю: общая средняя равна средней арифметической групповых средних, взвешенной по объемам групп.
Пример:
Найти общую среднюю совокупности, состоящей из двух групп:
| Группа 1 | Группа 2 | |||
| Значение признака | ||||
| Частота | ||||
| Объем | 10+15=25 | 29+30=50 |
Решение:
Найдем групповые средние:
=(10*1+15*6)/25=4;
=(20*1+30*5)/50=3,4.
Найдем общую среднюю по групповым средним:
=(25*4+50*3,4)/(20+50)=3,6.
Для упрощения расчетов общей средней совокупности большого объема целесообразно разбить ее на несколько групп, найти групповые средние и по ним общую среднюю.
При рассмотрении общей средней необходимо учитывать такое понятие, как отклонение от общей средней.
Отклонением от общей средней называют разность xi - между значением признака и общей средней.
Генеральная дисперсия
Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику – генеральную дисперсию.
Генеральной дисперсией Dг называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения 
.
Если все значения x1, x2,…,xN признака генеральной совокупности объема N различны, то:
Если же значения признака x1, x2,…,xk имеют соответственно частоты N1, N2, …, Nk, причем N1 + N2 + … + Nk = N, то:
то есть генеральная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам.
Пример:
Найти генеральную дисперсию, если генеральная совокупность задана следующей таблицей распределения:
| xi | ||||
| Ni |
|
|
|
Решение:
Найдем генеральную среднюю:
= (8*2+9*4+10*5+3*6)/(8+9+10+3)=120/30=4.
Найдем генеральную дисперсию:
Dг= (8*(2-4)2+9*(4-4)2+10*(5-4)2+3*(6-4)2)/30=54/30=1,8
Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой – средним квадратическим отклонением.
Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из генеральной дисперсии:
Выборочная дисперсия
Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения , вводят сводную характеристику – выборочную дисперсию.
Выборочной дисперсией Dв называют среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака от их среднего значения .
Если все значения x1, x2,…,xn признака выборки объема n различны, то:
Если же значения признака x1, x2,…,xk имеют соответственно частоты n1, n2, …, nk, причем n1 + n2 + … + nk = n, то:
Таким образом, выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам.
Пример:
Найти выборочную дисперсию, если выборочная совокупность задана следующей таблицей распределения:
| xi | ||||
| ni |
Решение:
Найдем выборочную среднюю:
= (20*1+15*2+10*3+5*4)/(20+15+10+5)=100/50=2.
Найдем выборочную дисперсию:
Dв = (20*(1-2)2+15*(2-2)2+10*(3-2)2+5*(4-2)2)/50=50/50=1.
Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой – средним квадратическим отклонением.
Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии:
|
|
|
