Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Краткие теоретические сведения.

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов для простой балки

1. Определяют опорные реакции балки (см. порядок решения задачи самостоятельной работы 3).

2. Обозначают характерные сечения (точки) балки. Ими являются концевые сечения балки, опоры, точки приложения сосредоточенных сил и моментов, начало и конец распределенной нагрузки.

3. Строят эпюру поперечных сил Qх. Для этого определяют значения поперечных сил в характерных точках. Напомним, что поперечная сила в сечении равна сумме проекций всех сил, расположенных только слева или только справа от рассматриваемого сечения, на ось, перпендикулярную оси элемента. Силу, расположенную слева от рассматриваемого сечения и направленную вверх, считают положительной (со знаком «плюс»), а направленную вниз — отрицательной (со знаком «минус»). Для правой части балки — наоборот.

В сечениях, соответствующих точкам приложения сосредоточенных сил, в том числе в точках приложения опорных реакций, необходимо определить два значения поперечной силы: чуть левее рассматриваемой точки и чуть правее ее. Поперечные силы в этих сечениях обозначаются соответственно

Qх лев и Qх прав.

Найденные значения поперечных сил в характерных точках откладываются в некотором масштабе от нулевой линии. Эти значения соединяются прямыми линиями по следующим правилам:

а) если к участку балки нет распределенной нагрузки, то под этим участком значения поперечных сил соединяются прямой линией, параллельной нулевой линии;

б) если на участке балки приложена распределенная нагрузка, то под этим участком значения поперечных сил соединяются прямой, наклонной к нулевой линии. Она может пересекать или не пересекать нулевую линию.

Соединив все значения поперечных сил по указанным правилам, получим график изменения поперечных сил по длине балки. Такой график называется эпюрой Qх.

4. Строят эпюру изгибающих моментов Мх. Для этого определяют изгибающие моменты в характерных сечениях. Напомним, что изгибающий момент в рассматриваемом сечении равен сумме моментов всех сил (распределенных, сосредоточенных, в том числе и опорных реакции, а также внешних сосредоточенных моментов), расположенных только слева или только справа от этого сечения. Если любое из перечисленных силовых воздействий стремится повернуть левую часть балки по часовой стрелке, то оно считается положительным (со знаком «плюс»), если против — отрицательным (со знаком «минус»), а для правой части наоборот.

В сечениях, соответствующих точкам приложения сосредоточенных моментов, необходимо определить два значения изгибающего момента: чуть левее рассматриваемой точки и чуть правее ее. Изгибающие моменты в этих точках обозначаются соответственно Млев и Мправ. В точках приложения сил определяется одно значение изгибающего момента.

Полученные значения откладываются в некотором масштабе от нулевой линии. Эти значения соединяются в соответствии со следующими правилами:

а) если на участке балки нет распределенной нагрузки, то под этим участком балки два соседних значения изгибающих моментов соединяются прямой линией;

б) если к участку балки приложена распределенная нагрузка, то под этим участком значения изгибающих моментов для двух соседних точек соединяются по параболе.

Парабола имеет выпуклость в сторону действия нагрузки (при действии нагрузки сверху парабола обращена выпуклостью вниз). При этом, если эпюра Qх на рассматриваемом участке не пересекает нулевую линию, то эпюра Мх (она является параболой) может быть построена по двум точкам, так как все значения изгибающих моментов в промежуточных точках находятся между значениями в характерных сечениях. Если эпюра Qх пересекает нулевую линию, то под этим сечением эпюра Мх будет иметь экстремальное (максимальное или минимальное) значение или вершину параболы. Положение этой точки находят по эпюре из подобия треугольников (см. примеры 1, 2). Затем находят значение изгибающего момента в этом сечении и строят эпюру Мх на участке с распределенной нагрузкой по трем точкам.

Соединив все значения изгибающих моментов по указанным правилам, получают график изменения изгибающих моментов по длине балки. Такой график называется эпюрой Мх.

Приведенный способ построения эпюр Qх и Мх назовем способом построения эпюр по характерным сечениям. Такой способ является частным случаем более общего, хотя и более трудоемкого способа, который называется способом построения эпюр по участкам. Порядок построения эпюр при этом способе следующий. Балку разбивают на участки. Границами участков являются характерные сечения. Для каждого участка записывается

 

 

закон изменения усилий Qх и Мх и определяются их величины при граничных значениях. По найденным величинам усилий строят соответствующие эпюры.

Существует несколько способов проверки правильности построения эпюр. Наиболее простой способ проверки заключается в том, что суммы моментов всех левых и всех правых сил, взятые отдельно, в любой точке балки должны быть равны между собой.

 

Пример 1. Построить эпюры Qх и Мх для балки, показанной на рис. 1, а.

Решение. 1. Определим опорные реакции балки. Составим уравнения:

1)∑ МА =0; 2)∑ МВ =0.

Из первого уравнения найдем VВ.

-F(а + b) + q(b + с)((b + с) /2- b) - VВ (с + d)-М = 0

или

-15 -2 + 20 *6 *2 - VВ *7-25 = 0,

откуда VВ = 26,4кН.

Из второго уравнения найдем VА:

-F(а + b + с + d) + VА (с + d)- q (b + с)\((b + с)/2 + d) - М = 0

 

Или -15*9 + VА *7 -20*6*5 -25 = 0,

 

откуда УА =(15*9 + 20*6*5 + 25)/ 7= 108,6 кН.

Выполним проверку:

∑V= VА + VВ - F- q(b + с) = 0

или

108,6 + 26,4 - 15 - 20 • 6 = 0, откуда 135 - 135 = 0.

2. Обозначим характерные сечения балки С, D, А, Е, В, К.

3. Строим эпюру Qх.

Определим значения поперечных сил в характерных сечениях:

Q с = -F = -15кН; Q D = -F = -15кН;

QАлев = -F - q b = -15 – 20*1 = -35кн;

QА прав = -F - q b + VА =-15-20*1 +108,6 = 73,6кН;

QЕ =-F - q (b + с) + VА = -15-20*6 +108,6 = -26,4кН;

QВлев = Q Е= -26,4КН;

QВ прав = QВ лев + VВ = -26,4+ 26,4 = 0; QК = 0

Соединим полученные значения прямыми линиями (рис. 1, б) и получим эпюру Qх. Эпюра Qх на участке АЕ пересекает нулевую линию. Определим положение точки, в которой эпюра Qх пересекает нулевую линию.

 

Рис. Схема к заданию примера 1

Рассмотрим подобие треугольников НRL и НNS (см. рис. 1, б), откуда НR/НN = НL/НS, или х0/5 = = 73,6/100, откуда

x0 = (73,6 *5)|100 = 3,68 м.

Это сечение считается также характерным для эпюры Qх и М х.

4. Строим эпюру Мх. Определим изгибающие моменты в характерных точках:

Мс = 0; М D = -F а = -15 • 1 = -15кН* м;

МА = -F (а +b)- (q b)(b/2) = -15 • 2 - 20 • 1 • 0,5 = -40кН м;

МЕ = -F (а + b + с)+ VA с - q(b + с)(b + с)/2 =

= -15 • 7 + 108,6 • 5 - 20 • 6 • 3 = 78кНм;

Мx0 = 3,68 = -F (а + b + х0)- q(b + х0)(b + х0)/2 + VA х0 =

= -15 • 5,68 - 20 • 4,68 • 2,34 + 108,6 • 3,68 = 95,4кНм;

МB = М = 25кНм (рассмотрена правая часть балки ВК);

Мк = M = 25кНм.

5. Строим эпюру Мх на участках между характерными точками:

а) на участке СD нагрузки нет, поэтому эпюра Мх — прямая

линия, соединяющая значения Мс = 0 и Мв = -15 кНм;

б) на участке действует распределенная нагрузка, поэтому

эпюра Мх — парабола. Так как эпюра Qх на этом участке не пересекает нулевую линию, то парабола не имеет экстремального значения, поэтому величины изгибающих моментов в сечениях D и А соединим кривой, значения которой находятся в интервале -15 кН м... - 40 кНм;

в) на участке АЕ действует распределенная нагрузка, поэтому

эпюра Мх — парабола. Так как эпюра Qх на этом участке пересекает нулевую линию, то парабола имеет экстремальное значение (вершину), поэтому эпюру Мх строим по трем значениям:

МD = -40кНм; Мx0 =95,4кНм и МE = 78кНм;

г) на участке ЕВ нет нагрузки, поэтому эпюра Мх —прямая, соединяющая значения МЕ = 78 кН м и Мв = 25 кНм;

д) на участке BK нет нагрузки, поэтому эпюра Мх — прямая линия, соединяющая значения Мв = 25 кНм и Мк = 25 кНм.

Эпюра Мх построена (рис. 1, в).

В качестве проверки возьмем сумму моментов всех сил относительно точки, расположенной на расстоянии х0 от левой опоры, но рассмотрим правую часть балки:

Мхо = q(с - х0)(с - х0)/2 + VВ (с - х0 + d) + М =

= -20 * 1,32 • 0,66 + 26,4 • 3,32 + 25 = 95,3 кН.

Разница в значениях Мх при рассмотрении левых и правых сил возможна из-за округления величин опорных реакций и расстояния х0.

На том же примере покажем построение эпюр Qх и Мх другим способом, который называется «по участкам». Опорные реакции балки определены. Балку разбиваем на пять участков, в каждом из которых проведем сечения балки. При определении усилий на участках I, II и III будем рассматривать левую часть балки, а на участках IV и V — правую часть, так как в этом случае уравнения для определения усилий будут проще (рис. 1, г).

Строим эпюру Qх. Для этого определим закон изменения поперечной силы для каждого участка.

Участок I. Проведем на этом участке сечение 1 — 1 на расстоянии x1 от левой опоры, причем х1 может принимать значения от 0 до 1 м, т.е. 0 < x1 < 1 м. Поперечная сила в сечении 1 — 1 Qх1 = = -F.

На всем участке эпюра Qх — прямая линия, параллельная оси абсцисс, совпадающей с осью балки. В этом можно убедиться, определив поперечную силу при граничных значениях:

при х1 =0 Qх 1=0 =-15кН;

при х1 = 1м Qх= 1 = -15 кН.

Участок II. Проведем сечение 2 — 2 на расстоянии х2 от левого конца балки, причем 1 м < х2 < 2 м. Поперечная сила в этом сечении

Эпюра Qх на этом участке — прямая линия, наклоненная к оси абсцисс. Ее можно построить по двум точкам, соответствующим граничным значениям х2: Qх2 = = -F – q( x2 -1)

При х2 =1м Qх=1 = -15 - 20(1 - 1) = -15кН;

при х2 = 2 м Qх=2 = -15 - 20(2 -1) = -35 кН.

Участок III. Проведем сечение 3 — 3 на расстоянии х3 от левого конца балки, причем 2 м < х3 < 7 м. Поперечная сила в этом сечении

Qх3 = = -F – q( x3 -1)+ VA

Эпюра на этом участке — прямая линия. Определим значения поперечной силы для граничных значений х 3:

при х3 = 2м Qх3= 2 = -15 - 20(2 -1) +108.6 = 73,6кН;

при х3 = 7м Qх=7 = -15 - 20(7 – 1) + 108,6 = -26,4кН.

Участок IV. Проведем сечение 4 — 4 на расстоянии х4 от правого конца балки, причем 1,5 м < х4 < 3,5 м. Поперечная сила в этом сечении

Qх 4=- VВ

Эпюра Qх — прямая, параллельная оси абсцисс. Проверим это, подставив в выражение для Qх граничные значения:

при х4 = 1,5м Qх4=1,5 = -26,4кН;

при х4 = 3,5 м Qх4=3,5 = -26,4 кН.

Участок V. Проведем сечение 5 —5 на расстоянии х5 от правого конца балки, причем 0 < х5 < 1,5 м. Поперечная сила в этом сечении Qх5 =0, эпюра совпадает с нулевой линией при х5 = 0. Величина

Qх5 =0 =0; при x5 =1.5 м Qх5=1,5 =0.

По найденным значениям строим эпюру Qх (см. рис. 1, б).

Строим эпюру Мх. Для этого определим закон изменения изгибающего момента на каждом участке.

Участок I, сечение 1 — 1, 0 < х1 < 1 м; Мх 1 = -F х 1.

Эпюра Мх на этом участке — прямая линия, которую можно построить по двум значениям:

При х1 =0 МХ1=0 =-15*0 = 0;

при х1 = 1 м Мх =1 = -15 *1 = -15кНм.

Участок ІІ, сечение 2 — 2, 1 м < х2 < 2 м;

М х2 = -F *х3q( x2 -1) (х2-1)2/2.

Эпюра Мх на этом участке представляет собой параболу. Построим ее, подставив в выражение для Мх граничные значения х:

При х2 =1м М х2 =1 =-15*1 -20(1-1)2 /2 = -15кНм;

при х2 = 2м Мх 2=2 =-15*2- 20(2-1)2 /2 = -40кНм.

Поскольку эпюра Qх на этом участке не пересекает нулевую линию, то эпюра Мх не будет иметь экстремума и ее можно построить по двум точкам.

Участок III, сечение 3 — 3, 2 м < х3 < 7 м;

М х3 = -F – q( x3 -1)2/2 + VA ( x3 -2).

Эпюра Мх на этом участке представляет собой параболу. Построим ее, подставив граничные значения:

при х3 = 2 м М х3=2 = -15*2 - 20(2-1)2 /2 +108,6(2 - 2)= -40кНм;

при х3 = 7м М х3 =7= - 15*7- 20(7-1) 2/2 +108,6(7 - 2)= 78кНм.

Поскольку эпюра Qх на этом участке пересекает нулевую линию, то эпюра Мх должна иметь экстремум. Для определения положения сечения приравняем первую производную закона изменения Мх нулю: dМх3 / 3 или F – q( х3 -1) + VА =0.

Подставим числовые значения:

-15-20(х3 -1) +108,6 = 0, откуда х3 =(-15 + 20 + 108,6)/20 =5,68 м, т. е. это сечение расположено на расстоянии х0 = 5,68 - 2 = 3,68 м от опоры А.

Изгибающий момент в этом сечении

М х3 =5,68 = -15 • 5,68 - 20(5,68 - 1)2/2 + 108,6(5,68 - 2) = 95,4 кН-м.

Участок 1V, сечение 4 — 4, 1,5 м < х4 < 3,5 м;

М х4 = М + VВ (х4 -1,5).

Эпюра Мх на этом участке — прямая линия:

при х4 = 1,5 м М х4=1,5 =25 + 26,4(1,5 -1,5) = 25 кНм;

при х4 = 3,5 м М х4=3,5 = 25+ 26,4(3,5-1,5) = 78 кНм.

Участок V, сечение 5 — 5, 0 < х5 < 1,5 м; М х5 = М,

При х5 = 0 м М х5=0 = 25 кНм;

При х5 =1,5м М х5=1,5 =25кНм.

 

По найденным значениям строим эпюру Мх (см. рис. 1,в)

 

Пример 2. Построить эпюры Qх и Мх для балки, изображенной на рис. 2

Решение. 1. Определим опорные реакции из уравнений:

1)∑ МА=0; 2)∑ МВ =0.

Из первого уравнения находим VВ:

М + q2(с + d)(a+b+(c+d)/2) - VВ (a+b+c) + F(a+b+c+d) = 0

или

20 + 15 • 4,5 • 4,75 - VВ • 6 + 5 • 7 = 0,

откуда VВ = 62,6 kH

Из второго уравнения находим

VA (с + b + а) + q1 2a(с + b +a) + M - q2(с + d)((c+d)/2 -d) + F d= 0

или

VA *6 - 10 • 3 • 6 + 20 - 15 • 4,5 • 1,25 + 5*1=0, откуда VA = 39 9 кН

Выполним проверку

∑Y= VА + VВ + q12а- q2(с + d) -F = 0

Или 39,9 + 62,5 - 10 • 3 - 15 • 4,5 - 5 = 0, откуда 102,5-102,5=0

2. Обозначим характерные точки балки С, А, D, Е, В, К.

3. Определим поперечные силы в характерных сечениях:

QС = 0;

QАправ = q1а = -1,5*10= -15 кН

QАправ = q1а + VА = -15 +39,9 = 24,9 кН

Q D = QАправ -q1а = 24,9 – 15*3 = 9,9 кН

QЕ = Q D = 9,9 кН

QВлев= QЕ – q2с = 9,9 – 15*3,5 = -42,6 кН

QВ прав = QВ лев + VА = -42,6 + 62,6 = 20 кН;

QК лев = QК прав – q2 d = 20 -15 * 1 = 5 кН,

 

Рис.2 Схема к примеру 2

 

Соединим полученные значения прямыми линиями (рис. 2, б) и получим эпюру Qх. Эпюра Qх на участке ЕВ пересекает нулевую линию. Определим положение точки, в которой происходит это пересечение, из подобия треугольников НRL и HNS

х0= 9,9*3,5 /52,5,

откуда х0 = 0,66 м.

Это сечение считается также характерным для эпюр Qх и Мх.

4. Определим изгибающие моменты в характерных точках:

Мс=0;

МА=- q1аа /2 = -10 • 1,5 • 0,75 = -11,25 кНм;

М Dлев = - q12аа + VА а = -10*3*1,5 + 39,9 • 1,5 = 14,9кНм;

М Dправ = М Dлев +М = 14,9 + 20 = 34,9 кНм;

МЕ = - q1 2а(а + b) + VА (а + b) + М = -10 • 3 - 2,5 + 39,9-2,5+ 20 = 44,8 кНм;

Мх0 = - q12а (а + b + х0) + VА (а + b + х0) + М – q2х0х0/2 =

= -10 • 3 • 3,16 + 39,9 • 3,16 + 20 -15 • 0,66 • 0,33 = 48,03кНм;

Мв = F d - q2 d d /2 = —5,1 —15 1 • 0,5 = -12,5 кНм, рассмотрена правая часть балки; Мк = 0.

По найденным значениям строим эпюру Мх:

участок СА — эпюра Мх представляет собой параболу, так как этом участке действует распределенная нагрузка. Но парабола не имеет экстремума (вершины), так как эпюра Qх не пересекает нулевую линию между точками С и А;

участок А D — тоже парабола, соединяющая значения МА = -11,25 кН м и

М D лев = 14,9 кНм;

 

участок D Е — эпюра Мх — прямая линия, соединяющая значения М D прав = 34,9 кНм и МЕ = 44,8 кНм;

 

участок ЕВ — эпюра Мх — парабола с вершиной на расстоянии х0 = 0,66 м от точки Е. Строим ее по трем точкам: МЕ = 44,8 кНм, Мхо = 48,03 кНм и Мв = -12,5 кНм;

участок ВК — эпюра Мх — парабола, построенная между значениями

Мв = -12,5 кН м и Мк = 0.

Строим эпюру Мх (рис. 2, в).

Проверим значение Мх в точке, расположенной на расстоянии х0= 0,66 м правее точки Е. Рассмотрим правую часть балки:

М х0 = q2(с – х0 + d) (с – х0 + d)/2 + VВ (с-х0) - F (с – х0 + d)= -15 • 3,84 • 1,92 + 62,6 • 2,84 - 5 • 3,84 = 48,0кНм.

 

Задание для самостоятельной работы.

Построить эпюры поперечных сил Qх и изгибающих моментов Мх для простой балки по данным своего варианта на рис. 3.

Рисунок 3. Расчетная схема к самостоятельному заданию

Рисунок 3. Расчетная схема к самостоятельному заданию.

Продолжение

Рисунок 3. Расчетная схема к самостоятельному заданию.

Окончание

Поделиться:





Читайте также:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...