 |
Расчет двухуровневого дерева решений
|
|
|
|
Рассмотрим ситуацию более сложную, чем в предыдущем примере.
Пример 4-5. Банк решает вопрос, проверять ли конкурентоспособность клиента перед тем, как выдавать заем. Аудиторская фирма берет с банка 80 ф. ст. за каждую проверку. В результате этого перед банком встают две проблемы:
первая – проводить или нет проверку,
вторая – выдавать после этого заем или нет.
Решая первую проблему, банк проверяет правильность выдаваемых аудиторской фирмой сведений. Для этого выбираются 1000 человек, которые были проверены и которым впоследствии выдавались ссуды (табл.4-8).
Таблица 4-8. Рекомендации аудиторской фирмы и возврат ссуды
| Рекомендации после проверки кредитоспособности | Фактический результат | ||
| Клиент ссуду вернул | Клиент ссуду не вернул | Всего | |
| Давать ссуду Не давать ссуду | |||
| Всего |
Какое решение должен принять банк?
Решение.
Этап 1. Построим дерево решений, как показано на рисунке 4-3. Вероятности проставляются по данным этапа 2.
Этап 2. Используя данные табл. 10, вычислим вероятность каждого исхода:
Р (клиент ссуду вернет; фирма рекомендовала) = 735/750 = 0,98;
Р (клиент ссуду не вернет; фирма рекомендовала) = 15/750 = 0,02;
Р (клиент ссуду вернет; фирма не рекомендовала) = 225/ 250 = 0,9;
Р (клиент ссуду не вернет; фирма не рекомендовала)= 25/250= 0,1.
Этап 3. На этом этапе слева направо проставим денежные исходы каждого из узлов, используя конечные результаты, вычисленные ранее. Любые встречающиеся расходы вычитаем из ожидаемых доходов. Таким образом, подсчитываем все дерево, опираясь на ранее полученные результаты. После того, как пройдены квадратные узлы решений, выбирается ветвь, ведущая к наибольшему из возможных при данном решении ожидаемому доходу. Другая ветвь зачеркивается, а ожидаемый доход проставляется над квадратом решения.
|
|
|
Сначала посмотрим на круглые узлы исходов В и С, являющиеся следствием решения 2 (выдавать ли заем клиенту?)
Доход, ожидаемый от исхода В:
Е (В) = 17250 ф.ст.×0,98 + 0×0,02 = 16905 ф. ст.,
чистый ожидаемый доход:
NE (В) = 16905 - 15000 = 1905 ф. ст.
Доход, ожидаемый от исхода С:
Е (С) = 16350 ф. ст. ×1,0 = 16350 ф. ст.,
чистый ожидаемый доход:
NE (С) = 16350 - 15000 = 1350 ф. ст.
Предположим, что мы сейчас в квадрате 2. Максимальный ожидаемый здесь доход 1905 ф. ст. показан в кружке В, поэтому принимаем решение выдать заем.
Приняв решение, корректируем дерево, проставив чистый ожидаемый доход 1905 ф.ст. над квадратом 2. Ветвь «не давать заем» зачеркивается, как это показано на рис. 4.4.
То же самое с кружками исходов D и Е – результатами решения 3.
Доход, ожидаемый от исхода D:
Е (D) = (17250 ф.ст. ×0,9) + (0×0,1) = 15525 ф. ст.,
чистый ожидаемый доход:
NE (D) = 15525 - 15000 = 525 ф. ст
Аналогично для исхода Е:
Е (Е) = 16350 ф.ст. ×1,0 = 16350 ф. ст.,
чистый ожидаемый доход:
NE (Е) = 16350 - 15000 = 1350 ф. ст.
Если бы мы были в квадрате 3, то максимальный ожидаемый доход был бы равен 1350 ф. ст. и можно было бы принять решение не выдавать заем. Теперь скорректируем эту часть схемы: над квадратом 3 пишем чистый ожидаемый доход и принимаем решение не выдавать заем.
Наконец приступаем к расчету узлов исходов F и G, которые являются результатами решения 4.
Е (F) = 17250 ф.ст. ×0,96 + 0×0,04 = 16560 ф. ст.;
NE (F) = 16560 - 15000 = 1560 ф. ст.;
Е (G) = 16350×1,0 = 16350 ф. ст.;
NE (G) = 16350 - 15000 = 1350 ф. ст.
В квадрате 4 максимальный ожидаемый чистый доход составляет 1560 ф. ст., поэтому принимаем решение выдать клиенту ссуду. Сумма 1560 ф. ст. надписывается над квадратом 4, а альтернативная ветвь перечеркивается.
Теперь вернемся к узлам А и 1. Используя ожидаемые чистые доходы над квадратами 2 и 3, рассчитаем математическое ожидание для кружка А:
|
|
|
Е (А) = (1905 ф.ст. ×0,75) + (1350 ф.ст. × 0,25) = 1766 ф. ст.
Так как аудиторская проверка стоит 80 ф. ст., ожидаемый чистый доход:
NE (А) = 1766 - 80 = 1686 ф. ст.
Теперь можно проставить значения первого решения квадрата 1. Должен ли банк воспользоваться аудиторской проверкой? В этом узле максимальное математическое ожидание – 1686 ф. ст., поэтому перечеркиваем альтернативную ветвь.
На рис.3.4 стрелками показана последовательность решений, ведущая к макси-ильному чистому доходу: в квадрате 1 воспользуемся аудиторской проверкой. Если выдача займа рекомендуется фирмой, тогда в квадрате 2 – выдать ссуду, если не рекомендуется, то в квадрате 3 – не выдавать ссуду, а инвестировать эти деньги под стабильные 9% годовых. Дерево окончательных решений для рассмотренного примера приведено на рис. 4.4.
Пример 4.6. Фирма "Tranda pic", занимающаяся исследованием рынка, рассчитывает расширить свою деятельность, снабдив персональными компьютерами персонал, занимающийся сбором данных. Проблема состоит в том, покупать ли компьютеры или арендовать. Предсказать рост масштабов деятельности фирмы ближайшие четыре года нельзя, но возможно разделить его на значительный, средний и незначительный. Вероятность значительного роста масштаба деятельности в первый год после установки компьютеров составляет 0,6; среднего и незначительного – 0,3 и 0,1 соответственно. В последующие три года рост может оцениваться как значительный и незначительный. Подсчитано, что если рост значительный в первый год, то вероятность того, что он останется таким же в последующие три года, равна 0,75. Средний рост первого года изменится на незначительный в последующие годы с вероятностью 0,5. А незначительный таким же и останется с вероятностью 0,9. Чистые наличные доходы, вызванные этими изменениями, приведены в табл. 3.25.
Стоимость компьютеров — 35000 ф. ст. Условия аренды: первоначальный взнос — 15000 ф. ст. плюс 25% чистой наличной выручки на конец года. Компания рассчитывает получать 12% годовой прибыли на вложенный капитал.
Таблица 4.9. Доходы наличности
| Рост | Доход наличности на конец года, ф.ст. |
| Значительный | |
| Средний | |
| Незначительный |
Для того чтобы решить, должка ли фирма покупать или арендовать компьютеры, воспользуемся деревом решений. Критерием принятия решения является максимизация ожидаемой чистой выручки с учетом 12%-ного приращения капитала в год.
|
|
|
Решение.
Этап 1. Составляем дерево для покупки-аренды компьютеров.
Отметим, что обе половины дерева – покупка и аренда – не зависят от начальных затрат, а зависят только от сумм предполагаемого дохода, которые считываются на конечном этапе.
Этап 2. Подсчитаем суммы, получаемые за 1-4 годы работы. Значения доходов, проставленные в крайней правой части дерева – это доходы за 2-4 годы, соответствующие сегодняшнему уровню доходов (табл.4-9) с учетом годовой 12%-ной надбавки, которую предусматривает фирма.
Если в конце года компания получает А ф.ст. и рассчитывает на 12% годового прироста, то тогда сегодняшнее (текущее) значение А ф.ст. для 2-4 года работы будет равно
Поэтому в узле I, где А (доход за год) должно быть равно 20000 ф. ст., текущее значение дохода за 2-4 годы с учетом 12% годовых:
PVI = 20000 ф. ст. × 2,1445 = 42890 ф. ст.
Аналогичная цифра для J:
PVJ = 11000 ф. ст. × 2,1445 = 23590 ф.ст.
Чередуясь, эти два значения повторяются от К до Т.
Этап 3. Используя текущие значения доходов (present value), можно вычислить математическое ожидание исходов от С до Н. В исходе С несмещенная величина ожидаемого текущего дохода за годы 2-4 равна:
EPVC (годы 2-4) = (42890 ф. ст. × 0,75) + (23590 ф. ст. × 0,25) = 38065 ф. ст.
На первом году работы этой величине соответствует доход в 20000 ф. ст., текущая величина этой суммы равна:
20000 /1,12 = 17,857 ф. ст.
Следовательно, ожидаемая текущая стоимость узла С за 1-4 годы:
EPVC (годы 1-4) = 38065 + 17857 = 55922 ф. ст.
Исход узла D, ожидаемая текущая стоимость доходов за 1-4 годы при 12% годовых, составит:
EPVD = ((42890 × 0,5) + (23590 × 0,5)) + 14000/1,12 = 45740 ф.ст.
Исход узла Е, ожидаемая текущая стоимость доходов за 1-4 годы:
EPVE = ((42890 × 0,1) + (23590 × 0,9)) + 11000/1,12 = 35341 ф. ст.
В результате симметрии ожидаемые текущие величины доходов в кружках F, G и Н составляют 55922 ф. ст., 45740 ф. ст. и 35341 ф. ст. соответственно. На этом расчеты по правой стороне дерева заканчиваются, и можно приступить к вычислению ожидаемых текущих доходов в узлах А и В. Для обоих узлов значения доходов одинаковые.
|
|
|
EPVA = EPVB = 55922 × 0,6 + 45740 × 0,3 + 35341 × 0,1 = 50809 ф. ст.
Чистый ожидаемый текущий доход по А (если компьютеры будут куплены):
EPVA = ожидаемая текущая стоимость — стоимость покупки =
= 50809 - 35000 = 15809 ф. ст.
Для расчета низкой ожидаемой текущей стоимости по узлу В вычислим аренды – 15000 ф. ст., которые выплачиваются сразу, плюс 25% чистого годового дохода наличности. Ожидаемая текущая величина чистого дохода наличности составляет 50809 ф. ст. Следовательно, ожидаемая текущая величина стоимости аренды равна:
15000 ф. ст. + 25% от 50809 ф. ст. = 15000 + 12702 = 27702 ф. ст.
Отсюда чистая ожидаемая текущая стоимость по исходу В (если компьютеры будут взяты в аренду) составит:
50809 ф. ст. - 27702 ф. ст. = 23107 ф. ст.
Теперь вернемся к рассмотрению узла-квадрата 1. Максимизируя ожидаемую текущую величину чистых доходов, мы сравним значение исхода кружка А (15809 ф. ст. при покупке) со значением в кружке В (23107 ф. ст. при аренде). Из чего следует, что компания должна арендовать компьютеры. Окончательная схема для примера 4.6 приведена на рис. 4.6.
Обратим внимание на то, что в расчетах по покупке компьютеров не была учтена их остаточная стоимость через четыре года, а это может коренным образом повлиять на вектор решения.
Следует помнить, что используемый в примерах критерий максимизации математического ожидания объема прибыли (ожидаемой прибыли) дает хорошую оценку реального результата только при многократном повторении описанной ситуации выбора. Если же ситуация является уникальной (единичной), то, по-видимому, целесообразно при выработке решения использовать не критерий математического ожидания, а, например, критерий Гурвица или Сэвиджа. Для полной гарантии расчеты должны быть основаны на максиминном критерии. Применение принципа гарантированного результата в любом случае полезно, по крайней мере, на первой стадии исследования, с целью предварительной оценки имеющихся потенциальных возможностей и выбора окончательного критерия.
|
|
|
