 |
Изучение понятия обусловленности вычислительной задачи
|
|
|
|
(Лабораторная работа №2)
Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к малым погрешностям входных данных.
Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения. Количественной мерой степени обусловленности вычислительной задачи является число обусловленности, которое можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешностей в решении по отношению к вызвавшим их погрешностям входных данных. Пусть между абсолютными погрешностями входных данных Х и решения У установлено неравенство
D(y*) £ nD D(x*),
где x* и y* - приближенные входные данные и приближенное решение.
Тогда величина nD называется абсолютным числом обусловленности. Если же установлено неравенство
d(y*) £ nd d(x*)
между относительными ошибками данных и решения, то величину nd называют относительным числом обусловленности. Для плохо обусловленной задачи n>>1. Грубо говоря, если n=10N, где n - относительное число обусловленности, то порядок N показывает число верных цифр, которое может быть утеряно в результате по сравнению с числом верных цифр входных данных.
Ответ на вопрос о том, при каком значении n задачу следует признать плохо обусловленной, зависит, с одной стороны, от предъявляемых требований к точности решения и, с другой, - от уровня обеспечиваемой точности исходных данных. Например, если требуется найти решение с точностью 0.1%, а входная информация задается с точностью 0.02%, то уже значение n=10 сигнализирует о плохой обусловленности. Однако, при тех же требованиях к точности результата, гарантия, что исходные данные задаются с точностью не ниже 0.0001%, означает, что при n=103 задача хорошо обусловлена.
|
|
|
Если рассматривать задачу вычисления корня уравнения Y=f(X), то роль числа обусловленности будет играть величина
где x0 - корень уравнения.
В работе предлагается, используя программы - функции BISECT и Round из файла metods.cpp (файл заголовков metods.h, директория LIBR1), исследовать обусловленность задачи нахождения корня уравнения 
для линейной функции 
. Значения функции 
следует вычислить приближенно с точностью Delta, варьируемой в пределах от 0.1 до 0.000001.
Порядок выполнения работы должен быть следующим:
1) Графически или аналитически отделить корень уравнения , т.е. найти отрезки [Left, Right], на которых функция удовлетворяет условиям применимости метода бисекции (см. Подразделы 3.1 и 3.2).
2) Составить подпрограмму вычисления функции для параметров c и d, вводимых с клавиатуры. Предусмотреть округление вычисленных значений функции с использованием программы-функции Round с точностью Delta, также вводимой с клавиатуры.
3) Составить головную программу, вычисляющую корень уравнения с заданной точностью Eps и содержащую обращение к подпрограмме f(x), программам-функциям BISECT, Round и представление результатов.
4) Провести вычисления по программе, варьируя значения параметров c (тангенс угла наклона прямой), Eps (точность вычисления корня) и Delta (точность задания исходных данных).
5) Проанализировать полученные результаты и обосновать выбор точности Eps вычисления корня. Сопоставить полученные теоретические результаты с экспериментальными данными.
Значение параметра d выбирается каждым студентом самостоятельно и согласовывается с преподавателем.
Текст программы для исследования обусловленности задачи нахождения корня уравнения представлен ниже.
/**********************************************************************/
#include <math.h>
#include <stdio.h>
|
|
|
#include <stdlib.h>
#include <methods.h>
#include <conio.h>
double delta,c,d;
void main()
{
int k;
long int s;
float a1,b1,c1,d1,eps1,delta1;
double a,b,eps,x;
double F(double);
printf("Ââåäèòå eps:");
scanf("%f",&eps1);
eps = eps1;
printf("Ââåäèòå c:");
scanf("%f",&c1);
c = c1;
printf("Ââåäèòå d:");
scanf("%f",&d1);
d = d1;
printf("Ââåäèòå a:");
scanf("%f",&a1);
a = a1;
printf("Ââåäèòå b:");
scanf("%f",&b1);
b = b1;
printf("Ââåäèòå delta:");
scanf("%f",&delta1);
delta = delta1;
x = BISECT(a,b,eps,k);
printf("x=%f k=%d\n",x,k);
}
double F(double x)
{
extern double c,d,delta;
double s;
long int S;
s = c*(x - d);
if(s/delta < 0)
S = s/delta -.5;
else
S = s/delta +.5;
s = S*delta;
s = Round(s,delta);
return(s);
}
/********************************************************/
|
|
|
