Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Решение функциональных уравнений методом подстановки




 

Заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным. Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать решения в классе всевозможных функций.

1. Найдите все функции, определённые на множестве , удовлетворяющие соотношению .

Решение:

Придадим x значение . Получим

.

 

Отсюда .

 

Получим систему

 

Из уравнения (1) выразим и подставим в уравнение (2).

 

; ;

 

Отсюда ;

;

.

Проверим, действительно ли функция f(x) удовлетворяет уравнению .

x=x - верно.

Ответ: .

2. Найти функцию, удовлетворяющую уравнению

Решение:

1) Пусть

2) Подставим в исходное уравнение, получим

3)Заменим z на получим

или после преобразований в правой части уравнения:

4)Итак, получили два уравнения:

5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и сложим со 2-ым уравнением, получим:

3. Пусть - некоторое действительное число. Найти функцию f(x), определённую для всех x ≠ 1 и удовлетворяющую уравнению

,где g – заданная функция, определённая при x ≠ 1.

Решение: При замене

получаем систему

.

решением которой при a2 ≠ 1 является функция

Ответ:

4. Найти решение системы функциональных уравнений относительно неизвестных функций f(x) и g(x):

Решение:

В первом уравнении сделаем подстановку 2x = 1/z.

При этом

и первое уравнение принимает вид:

или

В результате получаем систему уравнений:

решение которой g(x) = 1/x, f(x) = x+1.

Ответ: g(x) = 1/x, f(x) = x+1.

 

5. Найдите все функции f: R à R, которые при всех х, у? R удовлетворяют уравнению f(х+у)=х+уf(х)+(1-х)у. (1)

Решение:

Пусть f − функция удовлетворяющая уравнению (1). Поскольку (1) выполняется при всех значениях переменных х и у, то оно будет выполнятся и при конкретных значениях этих переменных. Подставив, например, у = 0 в исходное уравнение, мы получим f(х)=х. Это равенство должно выполнятся при любом действительном х.

Таким образом, (1) => f(х)≡х или, иными словами, никакая функция кроме f(х)≡х не может удовлетворять уравнению (1). Это, тем не менее, не доказывает, что функция f(х)≡х является решением функционального уравнения (1). Непосредственная проверка показывает, что найденная функция действительно удовлетворяет уравнению при всех х,у? R.

 

6. Найдите все функции f: R à R, которые при всех х, у? R удовлетворяют уравнению f(х+у)=х+уf(х)+(1-sin х)у. (2)

Решение:

Точно также, как и в предыдущей задаче, устанавливаем, что для функции f, которая удовлетворяет (2), должно выполнятся тождество f(х)≡х. Однако, подставив функцию f(х)=х в (2), мы тождества не получим. Поскольку никакие другие функции также не могут быть решениями (2), то данное уравнение решений не имеет.

 

7. Найдите все функции f: R à R, которые при всех х, у? R удовлетворяют уравнению

f(х+у2+2у+1) = у4+4у3+2ху2+5у2+4ху+2у+х2+х+1. (3)

Решение:

Поскольку мы хотим получить значение f(х), попробуем избавится от слагаемого у2+2у+1 под знаком функции. Уравнение у2+2у+1=0 имеет одно решение у=-1. Подставляя у= -1 в (3) получаем f(х)= х2-х+1.

Ответ: f(х)= х2-х+1.

 

8. Найдите все функции f: R à R, которые при всех х, у? R удовлетворяют уравнению

f((х2+6х+6)у)=у2х4+12у2х3+48у2х2-4ух2+72у2х-24ух+36у2-24 (4)

Решение:

Как и в прошлой задаче, мы хотим получить под знаком функции свободную переменную (х или у). В данном случае, очевидно, проще получить у. Решив уравнение х2+6х+6)у=0 относительно х получаем х1= -1, х2= -5. Подстановка любого из этих значений в (4) дает нам f(у)=у2-4у.

9. Решите следующие функциональные уравнения.

а) f(x)+2f(1/x)=3x (x≠0)

б) f(х)+f(x-1/x)=2x (x≠0)

в) f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cos y

Решение:

а) Положим у=1/x. Тогда f(1/y) + 2f(y) =3/y и f(y)+2f(1/y)=3y. Отсюда f(y)= 2/y – y.

б) Положим y=x-1/x, затем z=y-1/y. Получим систему трёх линейных уравнений относительно f(x), f(y), f(z), з которой находим

 

в) Положив у=π/2, получаем f(х+π/2) +f(x-π/2)=0 для любого х, откуда f(x+π)= - f(x). Заменив у на у+π/2, получаем

 

заменив теперь х- π/2 на х, имеем:

и с учетом предыдущего:

Положив х=0, получаем отсюда и из исходного уравнения:

Таким образом, искомая функция должна иметь вид a cos y +b sin y, где a,b – константы.

10.

Решение: 1) Заменим на , получим или .

 

2)Умножим обе части уравнения из п.1 на (-2) и сложим с исходным уравнением:

получаем:

11. 2

Решение: 1)Заменим в уравнении на , получим 2.

 

2) Умножим обе части исходного уравнения 2 на (-2) и сложим с уравнением 2,

 

получим:

 

12.

Решение:

1) Заменим в уравнение на , .

 

2)Умножим уравнение на и вычтем из уравнения , получим -

 

 

, где а

 

 

13.

Решение:

1)Заменим в уравнении на получим .

 

2)Выразим из исходного уравнения , получим

 

или .

 

3)Подставим в уравнение , получим .

 

Выполним преобразования

 

14.

Решение:

1.Заменим на , получим

2.Умножим обе части уравнения на и вычтем из уравнения

получим

 

15.

Решение: 1)Пусть , тогда уравнение принимает вид:

2)Пусть тогда исходное уравнение принимает вид:

3)Умножим обе части уравнения из п.1 на 2, а обе части уравнения из п.2 на (-3) и почленно сложим получившиеся уравнения:

 

16.

Решение:

1) Заменим на , получим или .

 

2)Умножим обе части уравнения из п.1 на (-2) и сложим с исходным уравнением:

получаем:

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...