Главная | Обратная связь
МегаЛекции

Процедура Форсайта получения ортогональных полиномов.




 

На любом наборе различных точек можно построить систему ортогональных полиномов до k-го порядка включительно. Для этого набор точек приводится к стандартному виду – к точкам на интервале [-1,1], а затем используется рекуррентная процедура Форсайта построения ортогональных полиномов.

; ;

Здесь: ; ;

; .

Для каждого набора точек , т.е. для каждой новой задачи, строится своя система полиномов .

Построение ортогональных полиномов на системе

Равноотстоящих точек.

 

Система равноотстоящих точек , где - нечетное, линейным преобразованием может быть приведена к системе целочисленных точек с единичным шагом:

5.3

На системе n точек (5.3) могут быть определены ортогональных полиномов со степенями от нулевой до ( ).

5.4

В (5.4) коэффициенты выбираются так, чтобы все полиномы имели на множестве (5.3) целочисленные значения. Такой выбор функций позволяет сократить вычислительные ошибки при расчете МНК-оценок за счет выполнения части операций в «целочисленной арифметике».

Полиномы (5.4) носят название полиномов Чебышева. При изменении числа точек в наборе (5.3), полиномы (5.4) должны вычисляться заново.

Регрессия на ортогональных полиномах.

При построении полиномиальной регрессии в качестве регрессоров выберем ортогональные на множестве значений независимой переменной полиномы: тогда модель связи есть:

;

;

; ,

и - любые числа от 0 до .

При этом матрица: оказывается диагональной и оценки для параметра находятся независимо от других:

, , т.к. обычно

и имеют в соответствии с теоремой Хоттелинга минимальную дисперсию.

Остаточная сумма квадратов.

При решении задачи подбора наилучшей регрессии применение ортогональных полиномов позволяет существенно упростить проверку значимости отдельных регрессоров.

Действительно, если мы проверяем гипотезу , то в критерии

(остаточная сумма квадратов при выполнении гипотезы ) находится удалением k-го слагаемого из суммы в выражении для , т.е.

Если велико и превышает критическую границу, то коэффициент оставляют, иначе – удаляют. Чтобы проверить значимость всех коэффициентов задачу оценки параметров по МНК решают всего 1 раз.

 

Оптимальное расположение точек при полиномиальной

Регрессии.

Задача подбора полинома степени является одной из немногих задач, в которых решена проблема выбора оптимального расположения точек наблюдения.

Пусть переменная преобразована так, что все ее возможные значения принадлежат интервалу [-1, 1].

Оптимальное размещение точек наблюдения на интервале [-1, 1] зависит от цели, которую мы преследуем при подборе полинома.

Если решается задача интерполяции таблицы наблюдений (например, по таблице строится калибровочная кривая), оптимально одно расположение точек; если нас интересуют непосредственно сами коэффициенты регрессии (все или любая их часть), оптимален другой план, если по таблице наблюдений строится прогноз (задача экстраполяции), – третий.

Задача интерполяции.

Цель выбора оптимального расположения точек: минимизировать дисперсию регрессионной кривой (5.2) на всем интервале изменения

- оптимальный план, реализует минимаксную стратегию выбора наилучшего плана: .

Для каждого плана на интервале [-1, 1] находится точка с максимальным значением ; из всех возможных планов выбирают тот, для которого принимает минимальное значение.

В задачах построения интерполяционной кривой на основе полинома (5.2) план таблицы наблюдений таков, что приведен к диапазону [-1, 1].

- оптимальным является следующий план:

1. Наблюдения выполняются в различных точках ,

2. Все точки имеют одинаковый вес ,

3. Точки выбираются как нули функции

где - производная полинома Лежандра p - й степени, т.е. .

При таком оптимальном выборе плана дисперсия регрессионной кривой во всех узловых точках , одинакова и равна:

, где - общее количество наблюдений.





©2015- 2017 megalektsii.ru Права всех материалов защищены законодательством РФ.